20.4 Порядок Шарковского

http://profbeckman.narod.ru/

количество отталкивающих периодических орбит периодов 2n. Значение параметра r=A представляет собой точку перехода от регулярного движения к хаотическому (стохастическому).

Рис. 19. Бифуркационные диаграммы некоторых отображений.

Постоянная , как и a, является универсальной, т.е. не зависит от детальных свойств f(x), а зависит только от порядка отображения. Напротив, постоянная А зависит от детальной структуры функции f(x). Величину можно рассчитать по формуле:

где rk – дискретное значение r при k-ом периоде удвоения; (rk+1-rk) – расстояние от одной точки флип-бифуркации (flip – щелчок, кувырок) до следующей в единицах r, показывает, насколько ответвление n длиннее ответвления n+1.

Последующие бифуркации разделены расстояниями геометрически убывающими по степенному закону с показателем d. Бифуркационные значения параметра rk, k=1, 2,...

при k→∞ сходятся к некоторому конечному пределу . Универсальность проявляется не только в указанном свойстве, но и структуре и размерности аттрактора системы и в поведении итераций отображений в окрестности предела бифуркационных значений параметра (зависимость которого предполагается аналитической.

Константа 4.67... называется универсальной постоянной Фейгенбаума. Она является одинаковой для любых систем, демонстрирующих последовательность бифуркаций удвоения периода; она применима ко всем одномодальным функциям, т.е. к функциям, имеющим единственный максимум (одна производная равна нулю); используется для прогнозирования достижения области хаоса (характеризует скорость перехода динамических систем от порядка к детерминированному хаосу). Расстояние междуточками бифуркации сокращается примерно в 5 раз при каждой последующей бифуркации, поэтому эта последовательность не может быть бесконечной: ряд сходится к некоторой точке, точке накопления r ≈3.57. За этой точкой следует хаос.

http://profbeckman.narod.ru/

Постоянная Фейгенбауэра (1975 г.) – универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбауэра).

Константа Фейгенбаума (аттрактор Фейгенбауэра) равна и получается как сходящееся число при решении бесконечного числа итераций уравнений: xn+1=xn(1-xn) и xn+1= sin(xn) Физический смысл – скорость перехода к беспорядку систем, испытывающих удвоение периода. Характеризует большое количество динамических систем, таких, как турбулентность, рост популяций, осцилляция и пр.

Расчёт на примере логистического отображения вида f(x)=rx(1-x):

Эта же константа встречается и в фрактале Манделброта f(z)=z2+c. Константа Фейгенбаума – это отношение диаметров последовательных окружностей на вещественной оси в комплексной плоскости.

Параметр бифуркации является корневой точкой компонента периода 2n. Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума c=-1.401155 ...... Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума.

При увеличении параметра r он, достигает при r=R0=2 уровня х2*=1/2 (рис. 20). При дальнейшем росте r неподвижная точка х2* при r=r1=3 утрачивает устойчивость, и в окрестности ее появляются две неподвижные точки второй итерации (сателиты), образующие 2-цикл. Устойчивые в момент своего возникновения. Значение d является расстоянием от х*=1/2 до ближайшего элемента аттрактора с периодом 2n.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 20. Схематическое изображение каскада удвоений периодов Фейгенбауэра (масштаб по оси параметра r не соблюдён).

На рис. 20 представлен пример каскада удвоения периода. Здесь r1 и r2,... значения параметра, при которых

точка x=0,5 является элементом цикла порядка два, четыре и т. д; d1 и d2 ... – расстояния между прямой x=0,5 и ближайшей точкой соответствующего цикла. Точки 2-цикла при некотором значении параметра r=r2 одновременно теряют устойчивость, и в окрестности каждой возникает по паре новых точек, образующих 4-цикл. Траектория элементов циклов пересекают уровень y=1/2 при значении параметра r=R1, R2. Циклы, содержащие точки на уровне y=1/2, называются суперустойчивыми. В самом начале при значении r, близком к нулю, есть только неподвижная точка х2*, т.е. 1-й цикл, состоящий из однойединственной неподвижной точки х2*. По миновании r=r1 возникает 2-цикл, т.е. период удваивается. При r>r2 каждый элемент 2-цикла превращается в 2-цикл, т.е. возникает 4- цикл (еще одно удвоение периода). Последовательность удвоений длин циклов при r=ri (i = 1, 2,...) называется каскадом удвоений периодов Фейгенбаума. После того как происходит бесконечное число удвоений периода в системе, описываемой унимодальным отображением, наступает сложное хаотическое состояние. Но хаос в данном случае – не

синоним отсутствия всякого порядка. Это состояние наделено тонкой структурой. Для r=4 орбиты становятся полностью хаотическими. При r>4, все итерации уходят в бесконечность и система становится неинтересной.

Рис. 21. Каскад удвоений при бифуркациях квадратичного отображения.

Бифуркации удвоения в несколько более общем виде представлены на рис. 21. Он демонстрирует, что при nn/n+14,67, а dn/dn+1=-2,5029 при n.

Мерой плотности состояний служит величина

dn=xn*-1/2, (17)

где хn* – значение неподвижной точки, ближайшей к неподвижной точке х*=1/2. Первые два значения dn показаны на рис. 20. Неподвижная точка, ближайшая к х=1/2, переходит с одной стороны прямой х=1/2 на другую.

Если одна из точек х* цикла длины 2n есть точка суперстабильности, а dn есть алгебраическое расстояние от х* до ближайшей к ней точки цикла, то для отображений с одним квадратичным максимумом отношение расстояний dn при последовательных бифуркациях стремится к универсальному пределу:

где =-2,5029... называется числом Фейгенбауэра .

Здесь отрицательный знак показывает, что ближайшая точка в 2n цикле попеременно выше и ниже xm, т.е. dn попеременно положителен и отрицателен.