http://profbeckman.narod.ru/

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Предсказания направлений эволюции динамической системы осуществляются анализом их устойчивости (и неустойчивости), на основе склонности системы к флуктуациям и способности борьбы с ними.

В данной главе рассмотрена устойчивость решений линейных и нелинейных систем обыкновенных уравнений, устойчивость особых точек и режимов перехода к бифуркациям, динамическому хаосу и катастрофам.

14.1 Устойчивые и неустойчивые равновесия

При изучении реальных систем обнаруживается, что начальные условия точно не известны, они оцениваются приблизительно. При прогнозе поведения такой системы прежде всего надо убедиться, что небольшие ошибки в измерениях не приведут к большим изменениям в решении уравнений. Важно, чтобы небольшой разброс в значениях начальных параметров не оказывал существенного влияния на результаты расчётов. Для этого требуется, что бы имела место непрерывная зависимость решений от исходных данных и параметров.

Состояние устойчивой системы может быть только стационарным, т. е. устойчивая система может находиться либо в состоянии покоя, либо в состоянии периодического движения. Устойчивой является та система, которая, будучи выведена из стационарного состояния кратковременным внешним воздействием (возмущением), вновь возвращается в прежнее стационарное (равновесное) состояние.

Равновесие – общее понятие, относимое к различным ситуациям, характеризующимся взаимодействием разнонаправленных сил, воздействие которых взаимно погашается таким образом, что наблюдаемые свойства системы остаются неизменными.

В технике положение равновесия – состояние покоя – постоянная величина, все его производные равны нулю. Систему выводят из положения равновесия и убирают все возмущения. Если при этом с течением времени (при t→∞) система возвращается в положение равновесия, она называется устойчивой. Если выходная координата остается ограниченной (не уходит в бесконечность), система называется нейтрально устойчивой, а если выход становится бесконечным – неустойчивой. Говоря о внутренней устойчивости, рассматривают не только выход, но и все переменные, описывающие состояние системы

Рис. 1. Схематическое представление системы, имеющей несколько состояний.

Внешнее воздействие может иметь любую величину, но выделяют два случая, соответствующие устойчивости «в малом»

и устойчивости «в большом». В фигурном рельефе (рис. 1 и 3) шарик может находиться в точках а и в , которые соответствуют условиям устойчивости «в малом», но не удовлетворяют условиям устойчивости «в большом» (например, при слабом возмущении шарик в в будет возвращаться в свою яму, но при сильном возбуждении он может оказаться в яме а); точки на вершинах гор б и г, не удовлетворяют условиям устойчивости, шарик на горе долго не засидится. Система шарик-горка нелинейна. Устойчивость – свойство не системы, а положения равновесия; может быть несколько положений равновесия, одни – устойчивые, другие некоторые – нет; положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонениях и неустойчиво при больших.

Важнейшие понятия теории динамических систем – устойчивость состояний равновесия и грубость.

Устойчивость системы – способность динамической системы сохранять движение по намеченной траектории (поддерживать намеченный режим функционирования) несмотря на воздействующие на нее возмущения. Основными видами устойчивости являются

http://profbeckman.narod.ru/

равновесие, гомеостазис, стационарный режим (циклическое повторение одной и той же последовательности состояний).

Если малые погрешности в начальных условиях способны резко изменить намеченную траекторию, система называется неустойчивой по начальным данным. Если же, наоборот, погрешности начальных условий автоматически гасятся системой, она называется асимптотически устойчивой. При этом различается глобальная устойчивость – когда свойство устойчивости выполняется для любой траектории системы (из числа тех, которые рассматриваются в данном исследовании), и локальная устойчивость, если это свойство относится только к траекториям, лежащим «вблизи» равновесной траектории. Впрочем, некоторые авторы определяют локальную устойчивость иначе: как такую, которая относится лишь к малым изменениям начальных условий.

Устойчивость состояния равновесия – способность системы сохранять текущее состояние под влиянием внешних воздействий; способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии. Если текущее состояние при этом не сохраняется, то такое состояние называется неустойчивым.

Абсолютная неустойчивость – вид неустойчивости, при котором малое начальное возмущение в любой точке пространства неограниченно нарастает с течением времени.

Грубость динамической системы – сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; грубая система – система, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров.

Грубая динамическая система – структурно устойчивая гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого >0 найдётся такое >0, что при любом её возмущении, отстоящем от нее в С1- метрике не более чем на , существует гомеоморфизм фазового пространства, который сдвигает точки траектории не более чем на и переводит траектории невозмущённой системы в траектории возмущённой. При малом возмущении правой части грубой системы дифференциальных уравнений получается система, эквивалентная исходной по своим топологическим свойствам. Динамическая система называется грубой или структурно-устойчивой, если малые гладкие возмущения оператора эволюции приводят к топологически эквивалентным решениям.

Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами: неустойчивое равновесие; устойчивое равновесие; безразличное равновесие. В случае системы с одной степенью свободы достаточным условием положения равновесия является наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему: при выведении тела из равновесия оно не возвращается на исходную позицию. Если вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями. При таком равновесии выведенное из равновесия тело возвращается на первоначальное место. Вторая производная =0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении. Если отклонить или сдвинуть тело оно останется в равновесии.

Если равновесие достигается лишь в определенных пределах колебания измеряемой функции, то говорят о локальной устойчивости. Однако при этом (рис. 2а) устойчивость достигается лишь в интервале от Р2 до Р1. Если же равновесие

http://profbeckman.narod.ru/

устанавливается при любых отклонениях параметра цен от равновесной цены (рис. 2б), то устойчивость носит глобальный характер.

Рис. 2. Локальная (а) и глобальная (б) устойчивость равновесия.

О грубой системе говорят либо когда фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории входят в некоторую компактную область G с гладкой границей, не касаясь последней, причем возмущение и

гомеоморфизм рассматривают только на G. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли. При малом (в смысле С1) возмущении грубой системы получается система, эквивалентная исходной по всем своим топологическим свойствам (эта эквивалентность должна осуществляться посредством гомеоморфизма, близкого к тождественному). Иногда термины «грубость» и «(структурная) устойчивость» употребляют в более широком смысле, например, имея в виду только сохранение при малых возмущениях того или иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о грубости данного свойства).

Часто грубость и структурная устойчивость интерпретируется в более узком смысле, когда утверждается сохранение при малых возмущениях некоторых линейных локальных свойств системы. Локальная грубость - свойство системы, рассматриваемой в окрестности компактного инвариантного множества Е гладкой динамической системы. Пусть Е - положение равновесия потока или неподвижная точка каскада (отображения, динамической системы с дискретным временем). Тогда локальная грубость Е означает: расположение собственных значений линеаризованной системы вне мнимой оси. Грубое положение равновесия (особая точка векторного поля грубая) имеет место, если существует такая окрестность этой системы, все элементы которой локально топологически эквивалентны исходной системе.

Замечание. Перенесение понятия грубости на многомерные системы встречает серьёзные затруднения. Грубые системы бывают весьма сложными и в пространстве параметров многомерной динамической системы могут существовать целые области негрубых систем.

Флуктуация – любое случайное отклонение какой-либо величины.

Теория устойчивости – дисциплина, изучающая закономерности поведения систем под действием внешних воздействий. В аналитическом аспекте является разделом теории дифференциальных уравнений. В наиболее общем виде теория устойчивости была разработана А.М. Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим основные теоремы теории устойчивости движения. Важной частью теории устойчивости является проблема аналитического и практического определения запасов устойчивости сложных (многокомпонентных, динамических, разнофакторных) систем и процессов.

В аналитическом аспекте теория устойчивости – раздел теории дифференциальных уравнений. В прикладном аспекте наибольшее развитие получила теория устойчивости механических систем, поскольку именно механика впервые столкнулась с проблемами устойчивости. Эйлер поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня, сжатого сжимающей силой. В наиболее общем виде теория устойчивости была разработана А.М. Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим основные теоремы теории устойчивости движения. Важной частью теории устойчивости является проблема аналитического и практического определения запасов устойчивости сложных (многокомпонентных, динамических, разнофакторных) систем и процессов. В этой части теории устойчивости особую актуальность с развитием сложной техники приобрели задачи диагностирования и прогнозирования запасов устойчивости процессов, связанных с эксплуатацией больших технических систем.

Устойчивость определяется способностью системы противостоять внешним или внутренним воздействиям. Система устойчива, если:

http://profbeckman.narod.ru/

1)после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние (малые возмущения затухают во времени);

2)после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного

процесса система приходит в новое равновесное состояние (малые возмущения нарастают со временем).

Особые точки положения равновесия на фазовом портрете могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Если динамическая система находится в окрестности устойчивой точки равновесия, то малые возмущения не нарушат устойчивой работы системы. Если точка положения равновесия не устойчива, то возмущения будут прогрессировать, что может привести к разрушению системы.

Рис. 3. Системы разной устойчивости: а – неустойчивое равновесие; б – неустойчивое равновесие, безразличное равновесие.

Полагают, что только грубые системы могут описывать реальные процессы. Нельзя доверять математической модели, резко меняющей свое поведение при малом изменении входящих в нее параметров (которые в реальности никогда не могут определяться точно).

Понятие грубой системы предполагает, что при достаточном малом изменении система не меняет своего качественного поведения. Далее нас будет интересовать устойчивость автономной системы, т.е. системы, на которую не действуют внешние сигналы (все входы нулевые).

Автономная система дифференциальных уравнений (стационарная система) —

частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент t системы не входит явным образом в функции, задающие систему. Автономная система в нормальном

Будем полагать, что автономному систему вывели из положения равновесия (задали ненулевые начальные условия) и «отпустили». Система, которая сама возвращается в исходное положение равновесия, называется устойчивой. Если при этом рассматривается только выход системы (а не ее внутренние сигналы), говорят о

«технической устойчивости» (или устойчивости по выходу). Напротив, внутренняя или

математическая устойчивость означает, что не только выход, но и все внутренние переменные (переменные состояния) приближаются к своим значениям в положении равновесия. В некоторых задачах основной рабочий режим – это периодические колебания, поэтому можно рассматривать устойчивость процессов, а не только положения равновесия. Почти все такие системы – нелинейные, и их адекватное описание представляет серьёзную проблему.

Замечание. Для автономных уравнений типа Ур.1, невозможно существование периодических решений. Дело в том, что Ур.1 соответствует поток на прямой. Если поток монотонен, то фазовая точка не может возвратиться на начальное место, поэтому периодические движения в данном случае невозможны (у фазовой точки нет обратного

пути). По той же причине невозможны также и более общие колебательные движения.

Гиперболическое положение равновесия (равновесие, в котором линейное приближение не имеет собственных значений на мнимой оси) является грубым, поскольку для близких систем знаки собственных значений сохраняются. Поведение системы в окрестности гиперболического положения равновесия аналогично поведению линейной системы в нуле. В случае аналитической динамической системы (функция аналитическая, если в окрестности точки она представляется степенным рядом) для каждого положения