http://profbeckman.narod.ru/

Вторая константа Фейгенбаума – отношение между шириной ветви и шириной одной из её подветок (кроме тех, которые ближайшие к изгибу). Не зависит от точной формы f.

Это число используется для описания многих динамических систем. Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.

Обе константы Фейгенбаума считаются трансцендентными, хотя это и не доказано. Период удваивания каскада появляется в широком диапазоне дискретных динамических систем, причём во всех случаях соответствующие отношения расстояний

между точками бифуркации имеют одно и то же предельное значение.

20.6 Устойчивость циклов одномерных отображений

Численными характеристиками хаотического процесса являются показатели Ляпунова и информационная энтропия. Применим их к квадратичным отображениям.

Прежде всего отметим, что нелинейная система в хаотическом режиме является, тем не менее не полностью непредсказуемой. Белые полосы или «окна» на серой вуали хаотического будущего указывают на локальные состояния порядка с отрицательными показателями Ляпунова; в этом состоит смысл концепции движения к порядку через флуктуации. Положительное значение показателя Ляпунова означает, что орбиты разбегаются экспоненциально быстро, а система чувствительна к начальным условиям. В области rс<r<rf=4 (граница фенитности) показатель Ляпунова возрастает при увеличении r. Поскольку при r<r∞ показатель λ<0, то в этом интервале значений хаотичного поведения системы не ожидается. Отрицательные пики при r>r∞ соответствуют периодическим окнам.

Рис. 22. Зависимость показателя Ляпунова от управляющего параметра =r/4.

Зависимость показателя Ляпунова от r для логистического отображения имеет вид

Показатель (средняя скорость разбегания) количественно характеризует экспоненциальное разбегание соседних траекторий и чувствительность системы к начальным условиям.

Рассмотрим поведение графика (r) при большом увеличении.

Здесь 4 =r

Проведём две итерации логиcтического отображения, стартующих из двух значений х. расположенных очень близко друг другу. Пусть два стартующих значения х0 и х0+ х0. При больших n их расхождение идёт экспоненциально

соответствует хаосу. Однако, если траектории сходятся к фиксированной точке или предельному циклу, они будут сближаться, если <0.

На рис.22 можно легко отличить области хаотического >0 от областей, которые стремятся к фиксированной точке или предельному циклу ( <0). В некоторых точках (первая при =0,75), где показатель Ляпунова достигает 0 и затем снова становится отрицательным. Это бифуркации удвоения периода. Именно в точке удвоения периода система находится на пределе хаоса, но затем, когда период удваивается, становится нехаотичной. Однако в конце периода удвоения режима, при 0,822, пересекает ось и система переходит в хаотический режим. Для в диапазоне значений, превышающих точку, в которой сначала положительно, существует много областей, где показатель отрицателен (острова устойчивости), так что поведение равновесно или является предельным циклом. Рис. 22 наглядно демонстрирует, что при изменении масштаба, за

20.7 Топологическая энтропия

Помимо показателя Ляпунова, для анализа устойчивости отображения и для исследования процессов перехода порядок-беспорядок-порядок используется топологическая энтропия. Её, как меру сложности системы, применяют к характеристики логистического и синус-отображений карте, для описания вариабельности сердечного ритма, к интепрерации электроэнцефалограмм пациентов с эпилепсией и в других областях. Эта мера сложности является информационно-теоретической и называется топологической (перенормированной) энтропией. Исторически она происходит из S- теоремы Климонтовича (S обозначает самоорганизацию). Перенормированная энтропия зависит от изменения управляющего параметра и свидетельствует об относительной степени порядка в системе.

Напомним, что энтропия Шеннона вводится как

где =0 или 1.

Не останавливаясь сейчас на свойствах топологической энтропии, отметим, что она задаётся как разность энтропий состояний 0 и 1.

~

S S f1 X S f0 X , (24)

Перенормированная энтропия выступает как мера сложности. На рис. 23а показано поведение энтропии в области периода 2, где параметр управления r лежит между 3 и 4. В этой области относительная степень порядка возрастает до точки накопления периода, т. е. r(2)c~3.569 поскольку система переходит из состояния равновесия в новое стационарное состояние в соответствии с процессом самоорганизации. Следуя самоорганизации системы в этой области значений r, относительная энтропия монотонно уменьшается. Точка накопления 2-периода движется до тех пор, пока не будет достигнута последнее

http://profbeckman.narod.ru/

слияние полосы. Здесь степень упорядоченности уменьшается, т.к. имеет место слияние полос (в отличие от бифуркаций в предыдущей области). Энтропия немонотонно возрастает.

Рис. 23. Бифуркационная диаграмма (верхняя панель) и ренормированная энтропия (нижняя панель) для 2-периода (а), 3-периода (б) и 5-периода логистического отображения.

Открытая неравновесная динамическая система немонотонно приближается к стационарному состоянию через удвоение периода и отступает от стационарного состояния посредством слияния зон. Соответственно, относительная энтропия уменьшается до точки накопления и увеличивается после её прохода. Стоит отметить внезапные изменения в значениях перенормированной энтропии, которые сигнализируют о существовании окон порядка в хаотической области. На рис. 23в показано поведение энтропии в окне периода 5, которое является одним из автомодельных окон бифуркационной диаграмме логистического отображения. Из-за автомодельности поведение, подобное периоду 3, отражается энтропией: она уменьшается при приближении параметра r к r(5)c~3,743, а затем начинает увеличиваться в соответствии с уменьшением относительной степени порядка. Есть повороты в относительной степени порядка для каждой из трёх точек накопления периода, представляющих стационарное состояние неравновесной динамической системы, обладающей фрактальной структурой.

В логистическом отображении перенормированная энтропия изменяется в соответствии с изменением управляющего параметра, доказывая, что топологическая энтропия может служить надежной мерой сложности. Помимо точного определения точек накопления во всех этих окнах, перенормированная энтропия обнаруживает самоподобные окна в хаотическом режиме, демонстрируя резкие изменения ее значений. Перенормированная энтропия превосходит показатель Ляпунова как меру сложности, поскольку перенормированная энтропия может обнаруживать квазипериодические режимы, а также периодические режимы в точках бифуркации в отдельности, тогда как показатель Ляпунова равен нулю для обеих этих областей, следовательно, вообще не обнаруживает разницы.

20.8 Синус-отображение

<1/ . Зависимость х( ) представлена на рис. 25. Видно, что при х=0, xn+1=f (xn) xn так

n3), т.е. обычную форму субкритической бифуркации вил, которая всё же отличается от транскритической бифуркации при x=0 для логистического отображения, ибо синусотображение имеет симметрию, что приводит к появлению дополнительной устойчивой

неподвижной точки для отрицательного x. Условие устойчивости для второй

затем подвергнет себя периоду удвоения. Можно рассчитать точку (µ, x), при которой n-

кратная итерация отображения ( ) есть устойчивая точка и одновременно ( ) = −1. Неподвижная точка синус-отображения, при которой ненулевой х становится нестабильным: х=0,64574, =0,719962. Точки, которые становятся неустойчивыми при последующих итерациях приведены в табл.1.

Табл. 1. Неподвижные точки синус-отображения, теряющие устойчивость при последовательных итерациях.

Табл. 2. Точки бифуркации, соответствующие локализации устойчивых неподвижных точек

Данные табл. 1 и 2 позволяют вычислить первую и вторую постоянные Фейгенбаумаlim n n 1

Здесь dn – наименьшее расстояние между точками в 2n орбитой (уменьшается по

стремятся при n к постоянным значениям, причём к тем же, к каким стремится и логистическое отображение.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 26. Бифуркационная диаграмма синус-отображения: а – расчёт , исходный масштаб, [0,1]; б - увеличенный маcштаб.

Бифуркационная диаграмма синус-отображения аналогично по структуре диаграмме f: x x2+c. Она включает переход к хаосу путём удвоения периодов, с окнами устойчивости для нечётных периодов. В квадратичном отображении бифуркационная диаграмма конечна и заканчивается значением параметра, выше которого все орбиты выходят на бесконечность. Однако в синус-отображение продолжается с резкими полосами в хаотическом режиме, раньше переходит в хаос. Эта область перемежается окнами с чётными периодами; наиболее известным из которых является 4-цикл, окна устойчивости шире, чем в логистическом отображении. Хаотический режим расширяется, а затем заканчивается на двух циклах, каждая сторона которых раздваивается. Картина является самоподобной.

Период удвоения бифуркации объясняет орбиты любого периода, кроме периода 3-орбиты. Решим уравнение = ( ) и ′( ) = 1 для

нахождения периода 3-орбиты, которая стабильна только при [0.9378, 09425]. Устойчивый период 3-орбиты также имеет соответствующую неустойчивую орбиту, которая видна на рис. 27.

Рис. 27. Точка, при которой генерируется период 3-орбиты (отмечены устойчивые точки).

Из бифуркационной диаграммы (рис.2.1) видно, что the sine отображение становится хаотичным при приближении r к 1. Для характеристики хаоса используется экспонента Ляпунова, которая для синус-отображения рассчитывается по формуле

Зависимость ( ) представлена на рис.28. Снова эта картинка очень похожа на логистическую.

Области, в которых граф находится над пунктирной линией ( =0), являются точками, в которых карта становится хаотичной. Топологическую энтропию кусочно-

число критических точек отображения fn на отрезке. Топологическая энтропия синус-

для максимума топологической энтропии для логистического отображения. В более общем виде отображение (x)= sin(x) представляется в виде двух функций +sin( ),

Рис. 33. Показатели Ляпунова: а – стандартное, б – модифицированное синусотображение.

Рис. 34. Бифуркационные диаграммы: а – стандартное, б – модифицированное синусотображение.

Показатель Ляпунова – критерий чувствительности к начальным условиям нелинейной динамической системы. Для дискретных во времени систем он имеет вид.

(34)

Кубическое отображение - бимодальное одномерное отображение, представляет собой итерированную дискретную динамическую систему, которая демонстрирует хаотичное поведение.

Отображение

f(x)=mx(1-x2) (35)

имеет две критические точки.

Отображение с двумя критическими точками в симметричном случае может описывать динамику численности некоторых генетических групп.

Замечание. Универсальность Фейгенбаума утверждает, что обычно нелинейные системы переходят к хаосу по маршрут удвоения периода. Это имеет место и в кубическом отображении, но в нём наряду с бифуркацией удвоения периода наблюдается бифуркация вил, обратная бифуркация (слияние хаотических зон) и касательная бифуркация.

http://profbeckman.narod.ru/

Бифуркация удвоения периода происходит при m=m1=2, который есть значение первого периода удвоения. Чтобы найти второе бифуркационное значение, рассмотрим

вторую итерацию f2(x) отображения. Неподвижные точки f2(x) задаются f2(x)=x m4x9- 3m4x7+3m4x5-(m4+m2)x3+m2x=0. Его решение

При значениях параметра меньше m=2,

траектории имеют тенденцию изменяться между двумя значениями x11(1) и х12(1) (верх рис.

39) и х11(2) и х12(2) (низ рис. 39).

Теперь, используя правило последовательного дифференцирования, рассмотрим производную второй итерационной функции.

х11(2) и х12(2) – верхняя и нижняя части двух циклов. Обе эти неподвижные точки или устойчивы или обе неустойчивы, и имеют одинаковую степень стабильности или нестабильности. При дальнейшем увеличении m, производная f(2) уменьшается и

http://profbeckman.narod.ru/

неподвижная точка становится стабильной, причём наклон f(2)<1 для этих фиксированных точек. 2-Цикл неподвижных точек остаётся стабильным до m=m2=2,23606797790250... где производная f(2) при двух циклах неподвижны точек равна -1. Следовательно для значения параметра несколько больше m2, 2-цикла неподвижные точки становятся неустойчивыми. При значении параметра больше m2 траектории располагаются в 4-цикле. Процесс удвоения циклов продолжает продуцировать циклы 23, 24..., пока не будет достигнута предельная точка m=m (аккумулирующая точка удвоения периода). В этой точке периодичность 2 и итерации отображения становятся апериодическими. Этот путь в хаос

через удвоение периода называется сценарием Фельгенбаума. Для расчёта периодических точек f4, необходимо решить 9 одностепенных уравнений типа f4(x)=x. Что даст оставшиеся точки бифуркации:

отображений. Пусть {mn}-последовательность точек бифуркации. Если m1, m2 известны,