http://profbeckman.narod.ru/

12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Каждая динамическая система имеет свой фазовый портрет. На фазовом портрете изображаются особые точки (точки положения равновесия, критические, неподвижные точки), которые позволяют без решения дифференциального уравнения или отображений предсказать поведение динамической системы.

Мы уже неоднократно упоминали особые точки. В этой главе мы рассмотрим способы их нахождения и их свойства несколько подробнее.

12.1 Дифференциальные уравнения и особые точки

Через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория: если эту точку выбрать в качестве начального состояния системы, дальнейшее движение системы будет определено однозначно. Это движение идёт вдоль фазовой траектории, проходящей через данную точку фазовой плоскости; фазовые траектории системы не пересекаются. Исключение составляют лишь отдельные, изолированные точки фазовой плоскости. Такие точки, через которые проходит более одной фазовой траектории или не проходит ни одной траектории, называются особыми. Фазовый портрет даёт наглядное графическое представление о возможных движениях изучаемой динамической системы.

Если фазовое пространство X представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно и если известна скорость движется каждой точки x фазового пространства (известна вектор-функция скорости v(x)), то траектория точки х0 Х

будет решением автономного дифференциального уравнения dx v(x) с начальным dt

условием x(0). Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения. В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями 1-го порядка в матричной форме.

Особая точка векторного поля – определяет положение равновесия. Это точка, в которой векторное поле равно нулю; положение равновесия или точка покоя динамической системы, определяемая данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая – прямая, параллельная оси времени.

Критическая (неподвижная) точка дифференцируемой функции действительной или комплексной переменной f:D R, где R – область в Rn, – любое её значение х0, при котором все частные производные f равны нулю, f(x0)=0. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции. Значение функции в критической точке называется критическим значением. Для дифференцируемой функции нескольких переменных критическая точка там, где все частные производные равны нулю.

Точка равновесия – такая точка в пространстве координат динамической системы,

генерируемой автономной системой ОДУ, которая характеризует ее состояние равновесия в

данный момент. Это одна из стационарных точек функции, описывающей поведение

системы; все частные производные функции обращаются в точке равновесия в нуль. Решение, которое со временем не меняется.

Сингулярная особая точка — точка, в которой математическая функция стремится к бесконечности или имеет какие-либо иные нерегулярности поведения.

Интерес к неподвижным точкам заключается в том, что точки, где функция имеет локальные экстремумы являются критическими точками.

http://profbeckman.narod.ru/

В критической точке график f(x) имеет горизонтальную касательную и производная от функции равна нулю. Если g(x,y) – дифференцируемая функция двух переменных, то g(x,y)=0 – неявное уравнение кривой. Критическая точка такой кривой для проекции,

параллельной оси y (отображение (x,y)→x), является точкой кривой, где g x, y 0 .y

Здесь касательная к кривой параллельна оси y и в этой точке g не определяет неявную функцию от x до y. Критическая точка (x0,y0) - одновременно точка бифуркации, так как, как правило, при изменении х есть две ветви кривой на

стороне х0 и ноль с другой стороны.

Рис. 1. Абсциссы (координаты х) красных кружков – стационарные точки, голубые квадраты – точки перегиба.

Функция f(x) имеет критическую точку x0 с критическим значением y0, тогда и только тогда, когда (x0,y0) является критической точкой ее графа для проекции, параллельной x- оси с тем же критическим

значением y0.Например, критические точки единичной окружности уравнения x2+y2-1=0 равны (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной оси y, и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного оси х. Если рассматривать верхнюю половину круга как график функции

Критические точки окружности для проекции, параллельной оси y, точно соответствуют точкам, где производная от f не определена.

Пример 1. Функция f(x)=x2+2x+3 всюду дифференцируема, производная f'(x)=2x+2. Функция имеет единственную критическую точку -1, т. к. именно это значение х0 получается из 2x0+2=0. Точка х0 – глобальный минимум f, критическое значение f(-1)=2. График f – вогнутая парабола, критической точкой является абсцисса экстремума, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение – ордината экстремума: пересечение этой касательной с осью y.

Пример 2. Функция f(x)=x2/3 определена для всех x и дифференцируема при x≠0, производная f'(x)=2x-1/3/3. Так как f'(x)≠0 для x≠0, то единственно возможной критической точкой f является x=0.

Поскольку производная не существует в 0, то одни авторы считают её критической, а другие нет. График функции f имеет точку возврата в этой точке с вертикальной касательной. Соответствующим критическим значением f(0)=0.

Пример 3. Функция f(x)=x3-3x+1 всюду дифференцируема, причём производная f'(x)=3x2-3. Она имеет две критические точки при x=-1 и x=1 соответствующими критическими значениями: f(-1)=3

– локальное максимальное значение, и f(1)=-1 – локальное минимальное значение f. Эта функция не имеет глобального максимума или минимума. Так как f(2)=3, то критическое значение может быть достигнуто и в некритической точке. Геометрически это означает, что горизонтальная касательная линия к графу в одной точке (x=-1) пересекает график под острым углом в другой точке (x=2).

Пример 4. Функция f(x)=1/x не имеет критических точек. Точка x=0 не рассматривается как критическая точка, потому что она не включена в область определения функции.

Рис. 2. График f(y) (слева) и его фазовая линия

(справа). Здесь а и с - стоки, а b - источник.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат – тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой

http://profbeckman.narod.ru/

Пример 6. Фазовая линия для логистического уравнения y'=k0(1-y/M)y. Критические точки: y=0 и y=M. Решения сдвинуты во времени. Точка равновесия у=0 неустойчива, точка у=М – устойчива. Пример 7. Полу-устойчивое и полу-неустойчивое положение равновесия. ОДУ y'=y2 имеет одну полустабильную точку равновесия при у=0, y' - всегда положителен (за исключением у=0).

Критическая точка может быть устойчивой, неустойчивой или полуустойчивой, что демонстрируют исходящие (или входящие) в них стрелки. Если обе стрелки направлены на критическую точку, она устойчива (сток): близкие решения асимптотически сходятся к критической точке, а решение устойчиво при малых возмущениях, что означает, что если решение нарушено, оно снова вернется к устойчивой точке. Если обе стрелки указывают направление от критической точки, она неустойчива (источник): близкие решения будут расходиться от критической точки, а решение будет неустойчивым, при малых возмущениях решение обратно не вернётся. Если одна стрелка направлена на критическую точку и одна – от нее, то она полустабильна (узел): она устойчива в одном

направлении (где стрелка направлена на точку) и неустойчива в другом направлении (где стрелка направлена от точки).

Рис. 5. К примеру 2: а – график f(y): б – фазовая линия; в – типичные интегральные кривые.

Поскольку нелинейные уравнения не имеют аналитического решения, то в теории динамики существенное внимание уделяется методам линеаризации,

которые позволяют найти критические точки и дать им разумную интерпретацию. Переход от нелинейной к линейной системе упирается в проблему топологической эквивалентности.

Особая точка (неподвижная точка, положение равновесия, стационарная точка, точка покоя, критическая точка) динамической системы описываемое системой ОДУ – решение, которое не изменяется со временем. Геометрически равновесие – точка в

имеет равновесное решение x(t)=x0, если F(x0)=0.

Нахождение равновесия, т.е. решение уравнения F(x)=0 просто только в некоторых специальных случаях.

Если х0 – особая точка дифференцируемого векторного поля F(x), являющегося правой частью автономной системы Ур.1, а F/ x – производная отображения F, то система линейных дифференциальных уравнений

называется линеаризацией системы (1) в особой точке x0, поле Ау – линейной частью поля F в точке х0, а А – оператор этой линейной части или оператор линеаризации.

Две системы дифференциальных уравнений (или, что то же самое – два векторных поля) топологически эквивалентны в окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение), переводящий особую точку первой системы и траектории, лежащие в некоторой ее окрестности, в особую точку и траектории второй системы с сохранением ориентации траекторий.

Гомеоморфизм – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическими пространствами, при котором оба взаимнообратных отображения, определяемые этим

http://profbeckman.narod.ru/

соответствием, непрерывны. Эти отображения называются гомеоморфными, или топологическими, отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называемые гомеоморфными, или топологически эквивалентными. Они являются изоморфными объектами в категории топологических пространств и непрерывных отображений.

Топологическая эквивалентность – топологическое отношение между топологическими пространствами; топологические пространства X и Y называются топологически эквивалентными, если они гомеоморфны, т.е. если существует гомеоморфизм пространства X на пространство У. Топологическая эквивалентность является рефлексивным, симметричным и транзитивным бинарным отношением на классе всех топологических пространств. В соответствии с этим совокупность всех топологических пространств разбивается на попарно не пересекающиеся классы топологической эквивалентности.

Теорема Гробмана-Хартмана. Непрерывно дифференцируемое векторное поле с гиперболической особой точкой в некоторой окрестности этой точки топологически эквивалентно своей линейной части.

Локальный фазовый портрет гиперболической точки нелинейной системы эквивалентен таковому для линейной.

Из этой теоремы вытекает, что качественное поведение решений автономной системы дифференциальных Ур.(1) в окрестности гиперболической особой точки полностью определяется поведением решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянным оператором (матрицей) линейной части поля в этой точке.

Линейная система ОДУ называется гиперболической, если все её собственные значения якобиана (вообще говоря, комплексные) имеют отличные от нуля вещественные части. Особая точка (положение равновесия) системы дифференциальных уравнений (1) называется гиперболической, если ни одно собственное значение оператора линейной части поля в этой точке не лежит на мнимой оси, т.е. если её собственное значение отлично от нуля. Если собственное значение точки равно нулю, то точку называют негиперболической. В этом случае система неустойчива и возможны бифуркации.

Гиперболическая периодическая точка – периодическая точка, у которой все мультипликаторы (производная в неподвижной точке) по модулю отличны от единицы. Это периодическая точка, орбита которой является гиперболическим множеством. Важный частный случай – гиперболическая неподвижная точка.

Неподвижная точка гиперболична, если имеет производную, отличную от +, т.е. если среди всех мультипликаторов нет равных по модулю единице.

В одномерной (скалярной) динамической системе x'=f(x) равновесие имеет место при f(x)=0 (рис. 6). Якобиан в каждом равновесии есть J=f'(x). Равновесие асимптотически стабильно, когда f'(x)<0; это означает, что наклон f отрицателен. Оно нестабильно, когда f'(x)>0. Слева два равновесия на рис. 6 гиперболические (f'(x) 0), другие негиперболические поскольку наклон (собственное значение) есть нуль. Тем не менее, негиперболическое равновесие системы устойчиво, если функция изменяет знак с положительного на отрицательный при равновесии.

Рис. 6. Равновесие одномерной системы x'=f(x) в точках где f(x)=0.

Как уже упоминалось, двумерную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

x

переменных .y

Для определения особых точек используют собственные значения уравнения Ах=х находят решением характеристического уравнения.

Обычно классификацию положений равновесия линейной системы, основанную на собственных значениях. Однако тип точки равновесия можно определить и без вычисления собственных значений 1,2, а зная лишь только определитель матрицы detA и её след trA.

Напомним, что следом матрицы называется число, равное сумме диагональных

где дискриминант, D=(trA)2−4detA.

Собственные вектора: V1 и V2 – корни уравнения bV 2 (d a)V c 0.

Таким образом, бифуркационная кривая, разграничивающая различные режимы

trA 2

устойчивости, представляет собой параболу на плоскости (trA, detA): det A .2

Выше параболы находятся точки равновесия типа фокус и центр. Точки типа "центр" расположены на положительной полуоси 0y, т.е. при условии trA=0. Ниже параболы находятся точки типа "узел" или "седло". Сама парабола содержит дикритические или вырожденные узлы. Устойчивые режимы движения существуют в левом верхнем квадранте бифуркационной диаграммы. Остальные три квадранта соответствуют неустойчивым положениям равновесия.

http://profbeckman.narod.ru/

Условие detА=0 определяет линию вырожденных особых точек, среди которых можно выделить вырожденный плоский седло-узел, имеющий, как правило, один узловой и два седловых сектора. Невырожденные седло, узел и фокус являются гиперболическими особыми точками. Центр к гиперболическому положению равновесия не относится. Гиперболичны те положения равновесия, для которых собственные значения матрицы коэффициентов detA линейной системы ОДУ лежат вне мнимой оси.

Особая точка означает, что в стационарном состоянии значения переменных в системе не меняются со временем, т.е. в одномерном случае скорость изменения значений dx/dt =0 (и следовательно) f(x)=0. Корни этого алгебраического уравнения – стационарные состояния.

В двумерном случае особая точка кривой, заданная уравнением F(x,y)=0, – точка

производные функции F(x, у) в точке P0 равны нулю, то особая точка называется двойной. Если наряду с обращением в нуль первых производных в точке М0 обращаются в нуль и все вторые производные, но не все третьи производные равны нулю, то особая точка называется тройной, и т.д.

Рис. 7. Точки равновесия линейной автономной системы и бифуркационные кривые.

Они же возникают и в нелинейных автономных системах при их линеаризации. а - виды фазовых портретов, б - демонстрация устойчивости особых точек. Здесь trA=a+d=р detA=ad-bc=q.

Рис. 8. Виды фазовой плоскости в зависимости от локализации собственных значений.

Из уравнения F(x,y)=0 ни одно из переменных x,y не может быть выражено как функция другого даже в как угодно малой окрестности точки P0. Если вторые частные

http://profbeckman.narod.ru/

производные не все одновременно обращаются в нуль в точке P0 (двойная особая точка), то поведение кривой в окрестности P0 во многом определяется знаком :

Если Δ>0, то особая точка называется изолированной; например, у кривой у- х4+4x2=0 начало координат есть изолированная особая точка (рис. 9.1). Если Δ<0, то особая точка называется узловой, или точкой самопересечения; например, у кривой (x2+y2+a2)2-4a2x2-a4=0 начало координат есть узловая особая точка (рис. 9.2); кривая x2- y3=0 имеет начало координат точкой самопересечения. Если Δ=0, то особая точка кривой является либо изолированной, либо характеризуется тем, что различные ветви кривой имеют в этой точке общую касательную, например: а) точка возврата 1-го рода – различные ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной и образуют остриё, как у кривой у2-х3=0 (рис. 9.3a); б) точка возврата 2-го рода – различные ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной, как у кривой (у-x2)2- х5=0 (рис. 9.3б); в) точка самоприкосновения (для кривой у2-х4=0 начало координат является точкой самоприкосновения (рис. 9.3в). Наряду с указанными особых точек имеется много других особых точек со специальными названиями; например, асимптотическая точка – вершина спирали с бесконечным числом витков (рис. 9.4), точка прекращения, угловая точка и т.д.

Рис. 9. Особые точки ОДУ.

Точка (0, 0) является узлом для уравнений у'=2у/х (λ1=1, λ2=2; и y'=у/х (λ1=λ2=1; седлом для уравнения у'=-у/х (λ1=-1, λ2=1; фокусом для уравнения у'=(х+у)/(х-у) (λ1=1-i, λ2=1+i; и центром для уравнения у'=-x/y (λ1=-i, λ2=i.

Рис. 10. Пример 8: зависимость y(x) как функция времени при большом числе начальных условий.

Пример 8. Двумерная система ОДУ

Фазовый портретстабильный седло, точка (0,0) - стабильная точка равновесия.

Рис. 11. К примеру 9.

Пример 9: Дана система ОДУ

http://profbeckman.narod.ru/

Фазовый портрет – седло. Фазовая траектория попадает в точку (0,0) только если начальное условие было задано в начале кооордитат. Остальные траектории никогда не попадают в точку

(0,0).

Рис. 12. К примеру 10.

равны +1,7321i. Так как реальные части собственных значений равны нулю, то реализуется фазовая плоскость, в которой точкой равновесия является центр.

Рис. 13. К примеру 11.

В анализе поведения решений дифференциальных уравнений на плоскости удобно пользоваться методом изоклин.

Изоклина – линия на плоскости, в каждой̆ точке которой, касательныӗ к фазовым траекториям исследуемой̆ системы уравнений имеют один угол наклона.

Главные изоклины – нуль-изоклины, фазовые траектории которых проходят под углом φ=0о (изоклина горизонтальных касательных) и φ=90о (изоклина вертикальных касательных). При уравнениях имеющих вид: dx/dt=f1(x, y), dy/dt=f2(x,y) уравнение изоклины записывается как: dy/dx=f2(x, y)/f1(x,y)=A=const. Для изоклины горизонтальных касательных уравнение принимает вид: dy/dx=(f2(x,y))/(f1(x,y))=tg0о=0 или f2(x,y)=0; для изоклины вертикальных касательных: dy/dx=(f2(x,y))/(f1(x,y)) tg90о=∞ или P(x,y)=0.

Коротко остановимся на линейных системах уравнений высоких порядков. При их решении обычно исходное уравнение представляют в виде системы линейных уравнений, решения которых довольно хорошо отработаны.