14.7 Асимптотическая устойчивость

http://profbeckman.narod.ru/

Как уже упоминалось, траектории могут обладать некоторыми предельными свойствами.

Рис. 15. Устойчивость предельного цикла.

Точка q фазового пространства называется -предельной точкой точки р, если

точки р. Так, например, асимптотически устойчивое положение равновесия является - предельной точкой для всех точек, лежащих в достаточно малой окрестности этого положения. Точки предельного цикла, на который навиваются спиралевидные кривые (рис.2), так же являются -предельными для точек, принадлежащих этим кривым. В обоих примерах -предельные точки составляют целые траектории (в первом случае - особая точка, во втором - предельный цикл).

Теорема. Множество -предельных ( -предельных) точек данной точки есть замкнутое множество, состоящее из целых траекторий.

Можно доказать, что предельная точка для предельных точек множества снова является предельной точкой этого множества. Допустим, что точка q является - предельной точкой для точки р, и покажем, что точка f(q, ) (число может иметь как положительный, так и отрицательный знак) также является -предельной для точки р. В самом деле, если q lim f ( p, tn ) , то из группового свойства динамических систем и

n

свойства непрерывности f(p,t) как функции р, получим f (q, ) lim f ( p,tn ) , а это и

n

означает, что точка f(q,p) является -предельной точкой точки р, т.е. все точки траектории, выходящей из q, являются -предельными точками для р.

Множество, состоящее из целых траекторий, называется инвариантным множеством. Инвариантное множество А обладает тем свойством, что f(A,t)=A при любом t. Если же f(A,t) A при t>0, то множество А называется положительным инвариантом.

Замечание. Если траектория f(p,t) не выходит при t>t0 из ограниченной части пространства, то множество её -предельных точек не пусто.

Если существует функция Ляпунома V, ограниченная снизу (сверху) в положительной инвариантной области D, и если производная во времени V этой функции знакоотрицательна (знакоположительна) в этой области, то все -предельные точки р лежат на одной и той же поверхности уровня функции V.

Теорема. Если существует определённо положительная функция V такая, что V 0 вне М и V 0 на М, где М – множество, не содержащее целых траекторий, кроме точки О, то положение равновесия О асимптотически устойчиво.

Эта теорема позволяет решить вопрос об асимптотической устойчивости с помощью функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную. В конкретных примерах именно такие функции Ляпунова удается построить для нелинейных систем.

14.8 Устойчивость особых точек

Рассмотрение проблемы устойчивости динамической системы обычно сводят к задаче исследования устойчивости особой точки. Устойчивость особой точки, определяется тем, уйдет или нет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния.

Как уже упоминалось, устойчивость неподвижных точек двумерной:

Если подкоренное выражение отрицательно, то 1,2 комплексно сопряженные числа. Предположим, что оба корня Ур.26 имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней.

В данном случае возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического Ур.26. Вид фазовых траекторий на плоскости x, y для этих шести случаев изображен на рис. 16.

Рис. 16. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных уравнений.

Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей Ур.23. При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия – центр – негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.

Замечание. Важно понимать, что математика не позволяет решению достигать положения равновесия за конечный промежуток времени; при

t→∞; решение асимптотически стремится к равновесию, но не достигает его. Даже в очень большие времена всегда есть очень небольшое остаточное движение. Это противоречит реальным физическим системам, которые достигают равновесия

Рассмотрим автономные системы u F(u) , правые части которых непрерывно дифференцируемы, что обеспечивает единственность решений исходной задачи. Если любое решение, начинающееся вблизи данного равновесного решения, стремится к нему, то равновесие называется асимптотически устойчивым. Если решения, которые стартуют вблизи точки равновесия и постоянно находятся вблизи этой точки, то равновесие стабильно.

Устойчивость скалярного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка определить легко, поскольку все неравновесные решения u(t) – строго монотонные функции: они либо всегда увеличиваются, либо всегда уменьшаются. Действительно, если F(u)>0, то производная u>0 и, следовательно, u(t) возрастает в такой точке, и, наоборот, решения убывают в любой точке, если F(u)<0.

Теорема. Точка равновесия u автономного скалярного дифференциального уравнения асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда F(u)>0 для u - δ<u<u и F(u)<0 для u <u<u +δ, для некоторого δ>0.

Знак функции F(u) вблизи равновесия определяет её устойчивость. В большинстве случаев это можно проверить, посмотрев на производную функции при равновесии. Если F'(u )<0, то система устойчива (F(u) переходит с положительного в отрицательный с ростом u), но если F'(u )>0, то равновесие u неустойчиво по обе стороны от точки равновесия.

http://profbeckman.narod.ru/

Теорема. Пусть u – точка равновесия для скалярного обыкновенного дифференциального уравнения u=F(u). Если F'(u )<0, то u асимптотически устойчиво. Если F'(u )>0, то u неустойчиво.

Устойчивость (и асимптотическая устойчивость) стационарных решений (особых точек) – локальное свойство векторного поля, задающего систему дифференциальных уравнений. Просто стремление решений к положению равновесия при t не является локальным свойством и недостаточно для асимптотической устойчивости.

Устойчивая гиперболическая особая точка всегда экспоненциально асимптотически устойчива.

Теорема. Особая точка дифференцируемого векторного поля, для которой

Устойчивость особой точки определяется корнями характеристического уравнения. От корней характеристического уравнения системы зависит форма фазовых траекторий. Особой точке в зависимости от корней характеристического уравнения присваивается имя собственное:

1.два действительных отрицательных корня – устойчивый узел.

2.два действительных положительных корня – неустойчивый узел.

3.два комплексных корня в левой полуплоскости – устойчивый фокус.

4.два комплексных корня в правой полуплоскости – неустойчивый фокус.

5.два мнимых корня – центр.

6.два действительных корня. Один – положительный, другой – отрицательный – седло (как следует из теоремы Гробмана-Хартмана, седло всегда неустойчиво).

Если нет интегральных кривых, входящих в особую точку, то особая точка называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой особой точки состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих особую точку внутри себя, между которыми расположены спирали.

Рис. 17. Особые точки: а – устойчивый фокус – неустойчивый предельный цикл; б – неустойчивый фокус – устойчивый предельный цикл; в – неустойчивый предельный цикл – устойчивый предельный цикл.

Рис. 18. Фазовые диаграммы с вещественными собственными значениями:

(a) и (в) устойчивые узлы; (б) и (г) седловые точки.

Область притяжения точки покоя ограничена неустойчивым предельным циклом Г (рис. 17а) – чисто математическая абстракция. Рис. 17б – в системе при любых начальных условиях имеют место автоколебания, соответствующие устойчивому предельному циклу . Система, фазовый портрет которой