16.5 Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых траекторий.

Эта система имеет своим решением особую точку O=(0,0.0) , устойчивую при μ<-1. При μ>-1 из нее в результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый предельный цикл x0(t)=(cost, sint,0)T, лежащий в плоскости переменных (x1,x2). Линеаризованная на цикле система примет вид:

G(t, )=G(μ)=Β(μ) с нулевым первым столбцом, т.е. координата z1 однозначно определяется координатами z2 и z3 системы, лежащими в плоскости S, перпендикулярной плоскости цикла. Поэтому устойчивость цикла и его возможные бифуркации определяются исключительно двумерной системой уравнений

что диагональные элементы матрицы Ω(μ) являются показателями Флоке предельного цикла исходной системы. Цикл является устойчивым в интервале изменения параметра -1<μ<0. При μ > 0 нулевая особая точка и цикл системы становятся неустойчивыми. Происходит рождение двух

16.6 Транскритическая (обмена устойчивостью между циклами) бифуркация.

В этом случае при μ<0 наряду с устойчивым циклом x0(t, μ) в системе существует также и неустойчивый (седловой) цикл x1(t, ), лежащий на расстоянии и u=μ от устойчивого цикла в направлении собственного вектора, соответствующего показателю Флоке устойчивого цикла (простому вещественному собственному значению матрицы D(μ)), проходящему через мнимую ось. При переходе значений параметра μ через точку μ=0 один простой мультипликатор цикла, соответствующий указанному показателю Флоке, переходит через точку +1 единичной окружности, а циклы обмениваются устойчивостью - устойчивый цикл x0(t, μ) становится неустойчивым (седловым), а

неустойчивый (седловой) цикл x1(t,μ) ~ устойчивым (рис. 25).

Нормальная форма такой бифуркации цикла совпадает с одномерной нормальной формой транскритической бифуркации

при этом оба цикла должны лежать в одной плоскости (один внутри другого). В результате бифуркации внутренний устойчивый, например, цикл становится неустойчивым, а внешний неустойчивый – устойчивым циклом.

16.7Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых траекторий.

Вэтом случае при μ<0 наряду с устойчивым циклом x0(t,μ) существует также и неустойчивый седловой цикл x1(t,/ ). При возрастании значений параметра μ эти циклы сближаются друг с другом и при μ = 0 сливаются в один вырожденный цикл. При μ>0 оба цикла исчезают (рис. 26). Поэтому нормальная форма такой бифуркации цикла совпадает

(кризисом). Как и в случае предыдущих бифуркаций, циклы могут лежать в одной плоскости один внутри другого.

Если рассмотреть процесс изменения параметра μ от больших значений к меньшим, то описываемая бифуркация означает, что при μ=0 внезапно возникает замкнутая траектория (цикл), которая при дальнейшем уменьшении значений параметра расщепляется на две замкнутые траектории, одна из которых устойчивая, а другая – нет.

Другими словами, происходит внезапное одновременное рождение устойчивого и седлового предельных циклов. Каскад бифуркаций этого типа, порождающих бесконечную последовательность пар различных устойчивых и седловых циклов субгармонического и гомоклшшческого каскадов бифуркаций, можно наблюдать в системе Лоренца и практически во всех других нелинейных системах дифференциальных уравнений с хаотической динамикой

Рис. 26. Седло-узловая бифуркация предельных циклов.

16.8 Бифуркация удвоения периода цикла

Эта бифуркация может произойти только в фазовом пространстве размерности m>2. Она связана с переходом через мнимую ось слева направо одного комплексного показателя Флоке α(μ) исходного цикла x0(t, μ) при μ=0. При этом соответствующий вещественный мультипликатор цикла при μ=0 имеет вид: .

Переход одного комплексного показателя Флоке цикла х0(t.μ), имеющего период Т, через мнимую ось, что эквивалентно переходу мультипликатора цикла через точку -1 единичной окружности, означает, что цикл x0(t,μ) теряет устойчивость (но не исчезает), и

http://profbeckman.narod.ru/

одновременно возникает другой устойчивый цикл, имеющий ту же амплитуду и удвоенный период 2Т (рис. 27).

При -1< <0 1<1 и неподвижная точка x1* устойчива. В точке =-3/4 1=0. Это означает, что при переходе через это значение характер сходимости меняется от монотонного при -1< <-3/4 к знакопеременному при >-3/4. При =0 1=-1. Этот случай соответствует потере устойчивости неподвижной точкой. Траектория начинает расходиться, причем отклонение меняет свой знак на каждой итерации. Если бы отображение было линейным, то это было бы единственным событием. Однако наличие

Определенные выше неподвижные точки отображения (27) будут таковыми и для дважды примененного отображения, при этом траектория в их окрестности уже не осциллирует. Однако расчёт собственного значения в точке =0 даёт значение +1!

В дважды примененном отображении критической ситуации 1=-1 соответствует совсем другое событие, 1,2=+1. При =0 имеет место вилообразная бифуркация. x1* теряет устойчивость, однако в её окрестности рождаются две новые устойчивые неподвижные точки.

Рис. 28. Бифуркация удвоения.

С точки зрения исходного отображения обе родившиеся точки принадлежат одной и той же траектории – циклу периода 2, т.е. отвечают условию

xn+2=xn.

Таким образом, потеря устойчивости точкой x1* при =0 приводит к рождению устойчивого цикла удвоенного периода. По этому признаку данный случай

получил название «бифуркация удвоения».

Функция последования отображения (27) качественно не меняется в момент бифуркации =0, но неподвижная точка теряет устойчивость и при >0 возникает замкнутая траектория из двух неподвижных точек.

Субкритическая бифуркация удвоения.

Отметим, что условие 1=-1 описывает локальную динамику системы (27) в точке x*1 , тогда как наличие и устойчивость цикла удвоенного периода определяются

http://profbeckman.narod.ru/

свойствами отображения в некоторой окрестности x*1. Другой вид нелинейности может привести к иному сценарию развития бифуркации. Например, отображение вида

суперкритическую, а субкритическую вилообразную бифуркацию. Это означает, что в отображении (28) до точки бифуркации при <0 существует неустойчивый цикл периода 2, который «влипает» в x*1 в момент бифуркации удвоения при =0. Далее траектория уходит от потерявшей устойчивость точки x*1 в бесконечность.

Одномерное отображение – это простейшая модель эволюционного процесса, когда состояние системы характеризуется единственной переменной, а время дискретно.

Примером может служить динамика численности биологической популяции, если наблюдение за её численностью производится, например, один раз в год.

Пример 14. Рассмотрим бифуркацию удвоения периода в системе трёх дифференциальных уравнений

порядка. Заменой y(t)=Q(t)z(t) с 2π/ν- периодической матрицей Q(t) приведем исходную систему (к связанным с циклом координатам

матрица D(μ) линейной части которой имеет комплексно сопряженные собственные значения 2μ± 2i. Следовательно, при μ<0 нулевая особая точка и цикл x0(i) устойчивы. При μ>0 в системе в результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый предельный цикл периода Τ π, что соответствует рождению устойчивого двумерного тора с частотами, приближенно равными и и 2. Четкие переходы от резонансных к нерезонансным торам можно наблюдать при малых μ > 0 и варьировании параметра .

Рассмотренная бифуркация рождения устойчивого тора T2 является супер критической (мягкой) бифуркацией. Наряду с ней, как и в случае бифуркации Андронова-Xопфа. может происходить также и субкритическая (жесткая) бифуркация. В этом случае при μ< 0 система имеет устойчивый цикл, лежащий внутри неустойчивого тора. При μ>0 тор влипает в устойчивый цикл, который после этого становится неустойчивым. Происходит исчезновение аттрактора, и. следовательно, бифуркация является кризисом.

Случай бифуркации удвоения периода цикла, которому соответствует переход при μ=0 одного комплексного собственного значения матрицы Ε(μ) через мнимую ось важен с точки зрения приложений. При этом все остальные собственные значения должны иметь отрицательные вещественные части.

Пример 15. Рассмотрим систему трёх дифференциальных уравнений