http://profbeckman.narod.ru/

представлен на рис. 17в, обладает следующими динамическими свойствами. Положение равновесия устойчиво и область устойчивости его ограничена предельным циклом Г1. Если в начальные условия находятся вне заштрихованной области, ограниченной предельным циклом Г1, то в системе возникают автоколебания, обусловленные предельным циклом Г2. Областью притяжения предельного цикла Г2 является вся фазовая плоскость за исключением области устойчивости положения равновесия (х=0, y=0). Отметим, что неустойчивый предельный цикл Г1 – это замкнутая кривая, являющаяся границей между двумя областями.

Если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то можно считать установленной топологическую структуру разбиения фазовой плоскости на траектории.

14.9 Устойчивость особых точек

Для более полного освоения изложенного в данной главе материала, приведём несколько примеров задач с решениями.

Пример 1. Кинетика радиоактивного распада dN N , дифференциальное уравнение которой dt

имеет вид x ax, где <0 определяет динамику распада ядра. Фазовый портрет представляет собой одну неподвижную точку x 0. Функция f(x)>0 слева от неподвижной точки и f(x)<0 справа

от неё. Траектории стремятся к неподвижной точке. В этом примере неподвижная точка x 0 – устойчивая. Такой тип неподвижной точки на прямой, когда траектории стремятся к ней с обеих сторон, есть аттрактор.

Пример 2. Общее решение этого уравнения dx/dt=-x, x(t0)=x(0) есть x=Cexp(-t). Решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид x=x(0)exp(t0-t). Если теперь мы зададим другое

x=x(0)exp(t0-t) устойчиво по Ляпунову при t t0. Это решение также и асимптотически устойчиво,

Пример 3. Для уравнения x x x x x0 x exp(t0 t)для t t0 при любом t0. Каково бы ни

было t0 при t t0, решение x неустойчиво, так как сомножитель exp(t-t0) при t . Так как f(x0)=0, то здесь могут быть три существенно различных случая:

1)f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х=х0 с плюса на минус при возрастании х. Отсюда следует, что точка, находящаяся в достаточной близости к состоянию равновесия х=х0, будут асимптотически к нему приближаться при возрастании t. В этом случае состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.

2)f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х=х0 с минуса на плюс при возрастании х. Это значит, что изображающая точка, помещённая в достаточной близости к состоянию равновесия, будет удаляться от состояния равновесия; отсюда следует, что состояние равновесия неустойчиво в смысле Ляпунова.

3)f(x) не меняет знака вблизи состояния равновесия х=х0 при возрастании х. Это значит, что

изображающая точка, помещенная с другой – удаляться. Состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.

функция как от α, так и от ε, поэтому небольшое изменение в исходных данных или в уравнении приводит к небольшому изменению решения – по крайней мере, в моменты времени, близкие к началу процесса.

Однако непрерывная зависимость не исключает того, что решения, первоначально находившиеся близко друг к дугу, со временем не отойдут далеко друг от друга. Действительно, в

параметра уравнения. Таким образом, при приближении к сингулярности, решения, которые вначале были очень близки друг к другу, при развитии процесса оказываются произвольно

есть корни, лежащие в левой полуплоскости или на мнимой оси и нет асимптотической устойчивости нулевого решения. Для многочлена третьей степени P3( )= 3+а1 2+а2 +а3

но a1a2=a3, то 3+а1 2+а2 +а1а2= 2( +а1)+а2( +а1)=( +а1)( 2+а2). Здесь есть один отрицательный вещественный корень и два чисто мнимых. Решения соответствующего уравнения будет устойчивым, но чисто асимптотически.

решению в первой точке равновесия u 1=-1, что доказывает её устойчивость. Аналогично, график возвращается от положительных к отрицательным значениям при u 2=0, демонстрируя неустойчивость второго равновесия.

Окончательное равновесие u 3=+1 устойчиво, так как F(u) снова меняется от отрицательного к положительному.

Любое решение с отрицательным начальным условием, u0<0, будет асимптотически заканчиваться при первом равновесии u(t)→-1 при t→∞. Действительно, если u0<-1, то u(t) монотонно возрастает до - 1, а если -1<u0<0, то решение

уменьшается в сторону -1. С другой стороны, если u0> 0, то соответствующее решение заканчивается в другом устойчивом равновесии u(t)→+1; те, у которых 0<u0<1, монотонно возрастают, а единицы с u0>1 убывают. Единственное решение, которое не заканчивается ни на -1, ни на +1 при t→∞, является неустойчивым равновесным решением u(t)≡0. Любое его возмущение, независимо от того, насколько оно крошечно, заставит решения выбрать один из устойчивые равновесия. Заметим, что все кривые, за исключением горизонтальной оси, сходятся к одному из устойчивых решений ±1 и расходятся от неустойчивого решения 0 при t→∞.

Рис. 19. Стабильность уравнения u u u3.

Например, в предыдущем примере, F'(u)=1-3u2 при равновесии F'(-1)=-2<0, F'(0)=1>0, F'(1)=-2<0. Знаки подтверждают вывод о том, что ± 1 – стабильные равновесия, а 0 – равновесие

http://profbeckman.narod.ru/

неустойчиво. В пограничном случае, когда F'(u )=0, производный тест неубедителен и необходим дополнительный анализ для определения состояния точки равновесия. Например, уравнения u u3 и u u3 удовлетворяют F'(0)=0 в точке равновесия u =0. Но первое имеет неустойчивое равновесие, а последнее стабильно.

Пример 7. Пусть возмущенное движение описывается уравнениями dx/dy=y-2x3, dy/dt=-x-5y3 с состоянием равновесия х=y=0. Линеаризация уравнений (dx/dy=y и dy/dt=-x) приводит к общему

движения, что означает неасимптотическую устойчивость состояния равновесия линеаризованной системы и, как следствие, необходимость анализа устойчивости нелинеаризованной системы. Выберем знакопеременную (определённо-положительную) функцию Ляпунова вида V(x,y)=x2+y2. Производную по времени функции Ляпунова вычисляем как производную сложной функции dV V dx V dy . Тогда dV/dt=2x(y-2x3)-2y(x+5y3)=-2(2x4+5y4). Производная dV/dt оказалась

знакопеременной функцией противоположного с V знака – определенно-отрицательной. Следовательно, в силу упомянутой выше второй теоремы Ляпунова состояние равновесия нелинейной системы асимптотически устойчивое.

Значение производной отрицательно во всех точках плоскости xOy за исключением начала координат. Следовательно, расстояние до начала координат уменьшается: оно стремится к нулю при t + , т.е. нулевое решение является асимптотически устойчивым.

– искать ее в виде суммы чётных степеней х и у. Например, в данном случае можно взять функцию

Это выражение всегда отрицательно при х 0, т.к. в скобках стоят чётные степени x. Следовательно, точка (0,0) устойчива.

Пример 12. Рассмотрим систему уравнений, описывающую конкуренцию видов, численности которых x и y. Каждый из видов размножается в соответствии с логистическим законом, а при

http://profbeckman.narod.ru/

встрече (произведения в правых частях уравнений), численность как одного, так и другого вида

поскольку коэффициент трения μ>0. Следовательно, энергия удовлетворяет критерию устойчивости Ляпунова (45). Устойчивость минимумов энергии u 2k=2kπ, v 2k=0, если затухающий маятник находится на дне дуги. Действительно, поскольку dE/dt<0, за исключением случаев, когда v=0, с немного большей работой, критерий Ляпунова может быть использован для установления их асимптотической устойчивости.

Пример 14. Движение маятника c затуханием, в виде жёсткого отвеса, вращающегося в

предполагаемый здесь строго положительным, а κ>0 представляет собой гравитационную силу. Неизвестная функция θ(t) измеряет угол маятника по вертикали.

Для получения равновесных решений и изучения их устойчивости, преобразуем уравнение в

системы первого порядка одновременно исчезают, т. е. v=0, - sinu- v=0, и, следовательно, u=0, + ,

что маятник неподвижно сидит в верхней части своей дуги. Теоретически такая равновесная конфигурация возможна, но вряд ли она будет наблюдаться на практике, поскольку весьма неустойчива. Все остальные равновесия соответствуют одной

http://profbeckman.narod.ru/

или другой из этих двух возможностей: когда k=2j чётно, маятник находится внизу, а когда k=2j+1 нечетно, маятник – на вершине. Подтвердим этот вывод методом линеаризации. Если оба собственных значения имеют отрицательную действительную часть что α, β> 0 и, следовательно, начало координат – устойчивое равновесие, но если β2<4α – собственные значения являются сложными, и, следовательно, начало является устойчивым фокусом. В фазовой плоскости, решения спиральны к фокусу, что соответствует маятнику с затухающими колебаниями уменьшающейся величины. С другой стороны, если β2>4 α, то оба собственных значения отрицательны, а начало координат – устойчивый узел. В этом случае решения экспоненциально быстро убывают до 0. Физически это будет похоже на маятник, движущийся в бочке с мёдом. В

2 4 . В этом случае одно из собственных значений является вещественным и

2

положительным, а другое отрицательным. Линеаризованная система имеет неустойчивую седловую точку, и, следовательно, нелинейная система также неустойчива в этой точке равновесия. Самое незначительное возмущение вертикального маятника вытеснит его, заставив его качаться вниз и, в конце концов, опуститься в затухающее колебательное движение, сходящееся на одном из стабильных нижних равновесий.

Важно, что почти все решения для слабозатухющего маятника стремятся к стабильным равновесиям. Маятник с большой начальной скоростью будет вращаться несколько

раз вокруг центра, но кумулятивный эффект сил трения победит и маятник перейдёт в затухающий колебательный режим. Каждое из неустойчивых равновесий имеет ту же седловую форму, что и при линеаризации, с двумя решениями, соответствующими устойчивой собственной линеаризации, в которой маятник вращается несколько раз и в пределе t→∞ заканчивает движение, стоя в вертикальном положении в неустойчивом положении равновесия, а затем колеблется и затихает.

Табл. 1. Определения собственных значений в точках равновесия и их устойчивости:

демпфирования - из-за трения, вязкости или диссипации, линеаризации обычно достаточно, чтобы решить стабильность или нестабильность равновесий. Однако, когда речь идет о консервативных системах, в которых затухание отсутствует и энергия сохраняется, метод линеаризации не эффективен, и приходится полагаться на более сложные критерии устойчивости. В таких ситуациях часто можно использовать сохранение энергии, считая, что