6.2Размерности фракталов

http://profbeckman.narod.ru/

Размерность пространства – количество независимых параметров, необходимых для идентификации точки геометрического пространства; число, характеризующее протяженность предмета в каком-либо направлении; размерность фигуры равняется числу координат, которые необходимы для определения всех точек этой фигуры.

Топологическая размерность (размерность Лебега) – размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обозначается . Это обычная геометрическая размерность. Она принимает исключительно целые значения. Топологическая размерность dT точки равна 0, гладкой плавной линии равна 1, фигуры и поверхности (например, квадрата) – 2, тела или пространства (например, куба – 3). В простых явлениях она характеризует зачастую (но не всегда!) количество степеней свободы или количество параметров, необходимых для однозначного задания любой точки множества.

Основным свойством фрактала является самоподобие (масштабная инвариантность), а фундаментальной характеристикой его является фрактальная размерность или размерность самоподобия (дробная размерность как плотность самоподобия). Размерность фрактала, как правило, является неотрицательным нецелым числом, отражающим, некоторым образом, геометрическую сложность объекта.

Размерность фрактального объекта отлична от евклидовой (топологической) размерности. Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно предсказать поведение системы, в том числе - диагностировать нестабильные состояния. Фрактальная размерность - удобная количественная мера неидеальности объектов: извилистости, морщинистости, трещиноватости, пористости и т.п.

В качестве количественной меры геометрической сложности множества (объекта) используют фрактальную размерность df, показывающую насколько плотно и равномерно элементы данного множества заполняют евклидово пространство (df dT).

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в

(например, шаров или кубов) одинакового диаметра , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Размерность Хаусдорфа-Безиковича (ХБ-размерность, dH) – естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Согласуется с обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Для фрактальных множеств ХБ-размерность может не быть целым числом. Для самоподобных множеств эту размерность можно вычислить явно. Размерность ХаусдорфаБезиковича любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского. Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.

Если множество разбивается на частей, подобных исходному множеству с коэффициентами , то его размерность – решение уравнения . Например, размерность множества Кантора равна (разбивается на 2 части, коэффициент подобия 1/3), размерность треугольника Серпинского – (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2), размерность кривой дракона – 2 (разбивается на 2 части, коэффициент подобия 0,5 ).

ХБ-размерность имеет сходство с размерностью Минковского. Разница в том, что шары берутся произвольного радиуса 0<r и множество не обязательно компактное. d-Мерная ХБ-мера d мерного множества может быть либо равна нулю, либо бесконечна, либо положительна и конечна. Хаусдорф ограничился только последним, самым простым,

http://profbeckman.narod.ru/

случаем и показал, что в эту категорию входят канторовы множества и кривые Коха. Если множество ещё и самоподобно, его размерность подобия должна быть равна dH. Заметим, что типичные случайные множества имеют в качестве естественной размерности нулевую меру. Таким образом, величина df представляет собой критическую размерность.

Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Определения размерности Минковского и размерности Хаусдорфа-Базиковича весьма близки по смыслу. Для регулярных фракталов эти меры совпадают. Поэтому говорят просто о фрактальной размерности.

Фрактальная размерность – один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальная размерность (показатель степени) может принимать как целое, так и не целое числовое значение. Этот коэффициент описывает фрактальные структуры или множества на основе количественной оценки иx сложности (коэффициент изменения в детали с изменением масштаба);

показывает насколько плотно и равномерно элементы данного множества заполняют евклидово пространство (df>dT). Обычно 1 df 3 – дробное число, отражающее степень извилистости линии, развитость рельефа поверхности или объёма.

Фрактал – множество, у которого фрактальная размерность df больше топологической размерности dT (df>dT).

Фрактальная размерность может быть любой, однако пока не удалось сделать эту характеристику уникальной и использовать её для идентификации фракталов. Очень многие, совершенно разные фракталы имеют одинаковую размерность.

Фрактальная размерность – мера сложности самоподобной фигуры, мера того, сколько «физических» или «конечных» точек содержится в том или ином множестве. Фрактальная размерность представляет меру скорости добавления дополнительных деталей при переходе от одного масштаба к следующему. Это коэффициент, описывающий геометрически сложные формы, для которых детали являются более

важными, чем полный рисунок. Если фрактальная размерность множества превышает топологическую размерность, то множество имеет фрактальную геометрию.

Рис. 2. Увеличение фрактальной размерности по мере роста изгиба линии.

Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии фрактальная размерность даёт те же численные значения, что и

топологическая размерность (равна нулю для точки, единице – для гладкой плавной линии, двум – для фигуры и поверхности, трём – для тела и пространства). Но совпадая с топологической, размерностью на идеальных объектах, фрактальная размерность обладает более тонкой чувствительностью к несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Так, отрезок прямой, отрезок синусоиды и самый причудливый меандр неразличимы с точки зрения топологической размерности – все они имеют топологическую размерность, равную единице, тогда как их фрактальная размерность различна и позволяет числом измерять степень извилистости.

Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), фрактальная размерность увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией, если только они не сопровождаются разрывом или склеиванием каких-то точек. При этом, увеличивая свое значение, фрактальная размерность не меняет его скачком, как сделала бы на её месте топологическая размерность; она принимает дробные значения:

http://profbeckman.narod.ru/

равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), она становится равной 1,02 для слегка извилистой линии, 1,15 – для более извилистой, 1,53 – для очень извилистой и т.д. т.е. фрактальная размерность увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Рис. 3. Кривые с различной фрактальной размерностью. На всех трех рисунках изображен один цикл. На рис. а размерность равна 1.2, на рис. б размерность равна 1.5, а на рис. в 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

Рис 4. Общая длина береговой линии Великобритании возрастает, когда длина измерительной палки (шеста) уменьшается: а – длина шеста 200 км, l =11.5x200 = 2300

км; б – длина шеста 100 км, l =28x100=2800 км; в – длина шеста 50 км, l =70 x 50 = 3500 км

Размерность характеризует усложнение множества (например прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что её фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость.

Фрактальное множество заполняет пространство не так как его заполняет обычное геометрическое множество. Например, кривая с фрактальной размерностью очень близкой к 1, скажем 1.10, ведёт себя вполне как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1.9 намотана в пространстве, почти как поверхность. Подобным образом, ведёт себя поверхность с фрактальной размерностью 2.1. Она заполняет пространство почти как обычная поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2.9 сворачивается и стремится заполнить пространство почти как объём.

Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. Гладкая евклидова линия

http://profbeckman.narod.ru/

заполняет в точности одномерное пространство, а фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное.

Проиллюстрируем расчёт фрактальной размерности на простом примере. Пусть имеется квадрат со стороной, равной единице. Разобьём его на n равных квадратов со стороной a. Тогда размерность объекта

где N – минимальное число элементов размера a, необходимое для покрытия рассматриваемого множества.

Это выражение с точностью до основания логарифмов совпадает с формулой для размерности Хауздорфа: d1=d0. Она иногда называется информационной размерностью. В теории динамических систем этот предел называют фрактальной размерностью или ёмкостью аттрактора (см. далее).

Пусть относительное число пар точек, расстояние между которыми не больше а, задаётся функцией N(а). Если предел

(корреляционная зависимость).

Замечание. Если в m-мерном фазовом пространстве Μ динамической системы существует некоторое множество В, и если его можно покрыть m-мерными кубиками со стороной а так, чтобы эти кубики содержали все точки множества В (N(а) – минимальное число таких кубиков, необходимых для полного покрытия множества, то существует предел, который определяет ёмкость фрактала.

Хауздорфова размерность d0 – характеризует «пористость» или плотность объекта, т.е. то, как объект заполняет собою пространство вложения. Эта важная характеристика любого объекта. Например, для стандартного канторового множества размерность df=ln2/ln3, в то время как dT=0.

Размерность фрактала может быть найдена разными способами в зависимости от конкретной задачи. Обычно фрактальную размерность какого либо образования измеряют косвенно – по наклону зависимости ln(A) = F(ln(L)), где A – измеряемое значение (длина, площадь, объём и т.д.), L – шаг измерения или размер сканирующего окна.

Информационная размерность d1 играет важную роль в анализе нелинейных динамических систем, особенно при описании потери информации в ходе эволюции хаотических систем. В этом плане она связана с показателями Ляпунова и энтропией Колмогорова. Однако она важна и в других приложениях, так как является важным количественным параметром системы, характеризующим меру его хаотичности. Если со временем система изменяется и эти процессы влекут за собой существенные вариации её информационной размерности, то это говорит о том, что эти процессы могут быть связаны с ростом или диссипацией неравновесных структур, т. е. переходам типа хаос порядок. Информационная размерность позволяет количественно отслеживать направление и темп