http://profbeckman.narod.ru/

Существуют множества, которые при итерации сжимаются и сходятся к одной точке. В этом случае точка, которой идёт схождение, есть притягивающая неподвижная точка (аттрактор). Но при итерации могут появляться ортиты, исходящие из точки, такая точка есть неустойчивая неподвижная точка. Если точки орбиты сходятся к одному или нескольким пределам, то набор точек накопления орбит называется предельным множеством (набор -пределов). Возможны и блуждающие точки - точки, которые удаляются, и никогда не возвращаются и даже не приближаются к точке, в которой они возникли.

Пример. Доказать, что неподвижная точка отображения f(x)=Cx+D есть а=D/(1-C). Имеем:

Cx+D=x; Cx-x+D=0; (C-1)=-D, откуда D/(1-C)=a.

Неподвижную точки x0 находят по уравнению х0=f(x0). Неподвижной точке отвечает точка пересечения графика функции и биссектрисы (прямой, выходящей из начала координат под углом 45о) на итерационной диаграмме, рис.5.

Рис.5. Неподвижная точка x0 на итерационной диаграмме.

Неподвижная точка отображения f - точка х0, удовлетворяющая условию f(x0)=x0.

Неподвижная точка называется притягивающе в том случае, если орбиты всех точек из некоторой её окрестности (возможно, очень малой) сходятся к ней. Неподвижная точка х называется отталкивающей, если орбиты всех достаточно близких к ней точек удаляются от неё.

Простой способ определения, является ли неподвижная точка притягивающей или отталкивающей в рассмотрении величины |f'(x)|, в предположении, что она существует.

Если х неподвижная точка и |f'(x)<1|, то х – притягиваюшая, а если |f'(x)>1|, то х – отталкивающая. В случае, когда |f'(x)=1|, определённого вывода сделать нельзя: точка х может быть притягивающей, отталкивающей или ни той, ни другой.

Рис. 6. Схема итерационных последовательностей.

Орбита называется периодической с периодом р, если xn+p=xn для n=0,1,2,... Если уравнение периодичности xn+p=xn становится справедливым только после некоторого конечного числа шагов, скажем для n n0, то

говорят, что орбита является в конечном итоге периодической.

Многие задачи вычислительной математики можно свести к отысканию неподвижных точек, для чего используют метод последовательных приближений, или метод итераций, суть которого состоит в построении итерационного алгоритма. Если задать первое приближение х1 Х, то можно построить итерационную последовательность

(рис.6) {xn}={x1, x2=f(x1),...,xn+1=f(xn),...} элементов xn X, n N. При определённых условиях, зависящих от свойств множества Х, отображения f и выбора элемента х1 в качестве первого приближения, элементы этой последовательности могут сходиться к неподвижной точке.

11.2Итерации в исследовании динамических систем

Втеориях динамических систем существенную роль играют итерации. В процессе итерации дискретной динамической системы, время – непрерывная переменная – «квантуется». Интересно, что даже итерация простой квадратичной функции приводит к удивительному разнообразию явлений, таких как конвергенция, удвоение периода, хаос и

http://profbeckman.narod.ru/

др. Дискретные динамические системы возникают не только в математике, но и лежат в основе теории роста и распада биологических популяций, в моделях хищник-жертва, распространение инфекционных заболеваний, и множества других природных явлений. Более того, многие методы численного решения систем алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и т. д. – основаны на итерационном методе.

Итерация – результат повторного применения какой-либо математической операции. Так, если у=f(x)≡f1(x) есть некоторая функция от х, то функции f2(x)=f[f1(x)], f3(x)=f[f2(x)],...,fn(x)=f[fn-1(x)] называется соответственно второй, третьей,..., n-й итерациями

показателем итерации, а переход от функции f(x) к функциям f2(x), f3(x),... – итерированием. Для некоторых классов функций можно определить итерации с произвольным действительным и даже комплексным показателем. Итерации используют при решении различного рода уравнений и систем уравнений.

Итеративная система вида x(k+1)=f(x(k)) – дискретная динамическая система. Решение представляет собой дискретный набор точек х(k), в которой индекс k=0, 1, 2, 3,..., принимает неотрицательные целочисленные значения (индексы (k) это не порядок производной, а число итераций, это – дискретное время: дней, лет, секунд и т. д.).

Функция f:Rn→Rn обычно считается непрерывной и достаточно гладкой: имеет всюду по крайней мере одну или две непрерывные частные производные. Если f(x)=Ax - линейная функция, она обязательно задаётся умножением на n×n-матрицу A. В нелинейном случае отображения имеют более сложный вид.

Если начальное условие (начальная итерация) задана в виде

то решение находится легко: x(1)=f(x(0))=f(c), x(2)=f(x(1))=f(f(c)), x(3)=f(x(2))=f(f(f(c))).., и т. д.

Пока каждая последующая итерация x(k) находится в области определения f, процесс просто повторяется до получения решения

Замечание. Решение дискретной динамической системы получают многократным нажатием клавиши f на калькуляторе. Например, многократное попадание клавиши sin даёт решение системы x(k+1)=sinx(k). Обычно считают, что функция f определена на всех Rn. В противном случае нужно следить, чтобы последовательные итерации x(k) никогда не покидали область определения f, иначе процесс итераций разрушится.

Важное значение имеет сходимость итераций. Она определяется следующими положениями:

1)Решение с неподвижной точкой или равновесием дискретной динамической системы есть вектор x0 Rn такой, что f(x0)=x0. Каждая неподвижная точка обеспечивает постоянное решение, x(k)≡x*, дискретной динамической системы, причём сходящееся решение всегда сходятся к неподвижной (фиксированной) точке.

2)Если сходится решение дискретной динамической системы, то

limx k x0 ; предел x0 – неподвижная точка системы.

k

Рис. 7. Отображение с тремя неподвижными точками: функция кривая 1 y=x; кривая 2 - y=f(x)=x3.

Конечно, не все решения дискретной динамической системы обязательно сходятся, но если сходятся, то сходятся к неподвижной точке. Требуется определить сходится ли решение, и если да, то что собой представляет неподвижная точка: не превышает ли она единицы. (В линейном случае важно лишь понять сходится ли вообще система, поскольку большинство систем сходится к

http://profbeckman.narod.ru/

единственной неподвижной точке, а именно x=0.) Неподвижные точки грубо делятся на три класса: асимптотически устойчивые (все ближайшие решения сходятся к нему), стабильные(все близлежащие решения остаются рядом), и нестабильны (почти все близлежащие решения удаляются от неподвижной точки. Поэтому сходимость итератов дискретной динамической системы требует асимптотической устойчивости неподвижной точки.

Функция f(x)=x3 имеет три фиксированные точки, x= -1, 0, 1 (рис. 8). Если |x0|>1, то итерации расходятся до бесконечности, а если |x0|<1, то итерации сходятся к неподвижной точке при х=0.

Информацию об орбитах на реальной можно представить диаграммой рис.#.

Рис. 8. Фазовый портрет функции f(x)=x3.

Фазовый портрет показывает, как точки на реальной линии перемещаются в новые точки на действительной линии при применении функции f(x). Хотя эта диаграмма не дает больше информации, чем диаграмма паутины, мы можем использовать фазовые портреты для систем с более высокой размерностью, где мы не можем применять диаграммы паутины.

Пример. Отображение f(x)=x2-3x+3 имеет неподвижные точки x=1 и x=3, поскольку f(1)=1 и f(3)=3. Неподвижные точки есть не у всякого отображения, например, отображение f(x)=x+1 вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Неподвижная точка x=f(x) отображения f – притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут стремиться к x:

Важно, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — т. е., чтобы точка x была асимптотически устойчива.

Если производная |f'(x)|<1, то неподвижная точка является притягивающей.

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона, в котором искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.

Пример. Квадратный корень из числа a>0 можно представить как последовательность итераций x a

В теории динамических систем используются итерируемые функции.

Итерированная функция – это функция X→X (т.е. функция от некоторого множества Х на себя самого), получаемая путем сопоставления другой функции f:X→X с собой определенное количество раз. Процесс многократного применения одной и той же функции называется итерацией. В этом процессе, начиная с некоторого начального числа, результат применения данной функции снова вводится в функцию как вход, и этот процесс повторяется.

Системы итерированных функций (СИФ, IFS) – конечное множество сжимающих отображений в полном метрическом пространстве. Они применяются для построения фракталов, поскольку результат их применения всегда самоподобен. Впрочем, аттрактор, возникший при применении системы итерированных функций, не всегда является фракталом, им может быть или квадрат или иное замкнутое ограниченное множество.

Для построения СИФ рассматривают совокупность сжимающих отображений, каждое со своим коэффициентом сжатия s<1.

http://profbeckman.narod.ru/

Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и

вопрос, когда заданная система итерированных функций порождает предельное

Сжимающее отображение – отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми двумя точками. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства М в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называется «принципом сжимающих отображений».

Теорема Банаха о неподвижной точке (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве ,

гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств; содержит метод нахождения этой точки. Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач, некоторых

Если имеется некоторая маленькая добавка к значению х0, то после первой итерации она умножается на постоянное число С=f'(x0), после второй – на С2, после третьей – на С3 и т.д. Это означает, что переменная х приближается к неподвижной очке по закону геометрической прогрессии с показателем С, т.е. в окрестности х0 f(x) аппроксимируется касательной (рис. 14).

Из свойств геометрической прогрессии очевидно, что если |f'(x0)|<1, то итерации сходятся, а если |f'(x0)|>1, то итерации расходятся. Это позволяет судить об устойчивости неподвижной точки. В первом случае неподвижную точку называют устойчивой, а во втором – неустойчивой. В силу большой важности величины f′(x0), она носит специальное

Поведение траекторий в окрестности предельного цикла связано со значениями его мультипликаторов. Если абсолютные величины всех мультипликаторов меньше 1, то все траектории неограниченно приближаются к нему и он устойчив. Устойчивый предельный цикл является математическим образом периодических автоколебаний.

Поведение траекторий в окрестности предельного цикла связано со значениями его мультипликаторов. Если абсолютные величины всех мультипликаторов меньше 1, то все траектории неограниченно приближаются к нему и он устойчив. Устойчивый предельный цикл является математическим образом периодических автоколебаний.

Если все мультипликаторы по модулю больше 1, то предельному циклу неустойчив (устойчив при обращении направления движения по траектории). Переход через единичное значение абсолютных величин одного или нескольких мультипликаторов при изменении параметров динамической системы свидетельствует о бифуркации смены устойчивости или исчезновения предельных циклов.

Пример. Рассмотрим отображение прямой в себя f0(x)=-x+x3

Мультипликатор неподвижной точки 0 равен -1.

На каждом шаге дискретного времени возмущение умножается на величину, равную мультипликатору.

Неподвижная точка устойчива (возмущение убывает), если | |<1 (т.е. -1< <1) и неустойчива (возмущение нарастает), если | |>1. Скорость сходимости определяется мультипликатором =f'(x0). Если =0, то сходимость будет самой быстрой. Такие неподвижные точки называют сверхустойчивыми.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 9. Два типа неподвижных точек, отличающихся знаком мультипликатора.

По характеру приближения траектории к неподвижной точке на итерационной диаграмме можно дополнительно выделить два типа неподвижных точек. Первый тип отвечает положительным значениям мультипликатора. В этом случае изображающая точка приближается к неподвижной точке таким образом, что все время находится от нее с одной и той же стороны, рис. 9а. Если же мультипликатор отрицателен, то изображающая точка приближается к неподвижной точке, перемещаясь на итерационной диаграмме так, что попеременно оказывается то справа, то слева от нее, рис. 9б. Используя терминологию теории систем с непрерывным временем можно назвать первую точку точкой типа «узел», а вторую – точкой типа «фокус».

Рис. 10. а) Аппроксимация отображения f(x) касательной, б) сходимость к неподвижной точке.

Рис. 11. а), б) Случаи общего положения, в) вырожденная (бифуркационная) ситуация, г) двукратно вырожденная ситуация. Пунктир – положение функции при небольшом изменении параметра.

Если слегка изменить параметр, характеризующий отображение, то обычно неподвижная точка сохраняется и сохраняет свой характер устойчивости (рис. 11а). (Отметим, что неподвижной точки может не быть вообще (рис.11б)). Однако возможны вырожденные) ситуации), когда это не

так. В этих случаях, даже если слегка «пошевелить» параметр, то динамика изменится существенным образом (рис.11в). Такая ситуация и соответствует бифуркации. Поэтому говорят, что обычный случай является грубым, а бифуркационная ситуация – негрубой. Степень вырождения может быть разной. Например, для ситуации на рис.11г «произвольное» шевеление параметров разрушит обе ситуации касания. Однако, можно некоторым специальным образом регулировать параметры так, что одно из касаний сохранится, а второе – разрушится.

Отображение f в нелинейной системе (в отличие от линейной) не предполагается сжимающим, теорема о неподвижной точке неприменима и уже нельзя сделать вывод о сходимости последовательности f(n).

Вблизи данной точки любая (гладкая) нелинейная функция может быть аппроксимирована её касательной линией, которая является аффинной (линейной) функцией. Вблизи неподвижной точки x0 поведение нелинейной системы ведёт себя как её аффинная аппроксимация. Это пример анализа нелинейной системы основанный на её линейном (точнее, аффинном) приближении.