http://profbeckman.narod.ru/

18.4Треугольное отображение

Ороли треугольника в построении фракталов мы уже говорили: кривая фон Коха и снежинка Коха, треугольная салфетка Серпинского, двумерные стохастические фракталы, используемые для моделирования сильно развитого рельефа поверхности и др. Простая динамическая система, траектории которой образуют на плоскости Пуанкаре треугольное отображение, может служить моделью необратимой эволюции.

Простой вариант треугольного отображения имеет вид:

Заметим, что если параметр r удовлетворяет условию r<1/2, то х=0 – единственная неподвижная точка, к которой притягиваются все точки из интервала (0, 1); при r>1/2 существуют две неустойчивые неподвижные точки, при этом последовательность {Xn} приобретает свойства хаотичного поведения. График треугольного отображения приведен на рис. 17.

Растяжение приводит к экспоненциальному разбеганию близких траекторий. Складывание возвращает образ в интервал (0, 1) и вызывает необратимость отображения (образ имеет два прообраза).

Рис. 17. График «треугольного отображения».

(25)

Точки пересечения графика с прямой xn+m=xn задают 2m неподвижных точек отображения; из них две – неподвижные точки отображения M. Остальным соответствуют периодические орбиты M. Если начальная точка известна с точностью ±2-m, то положение её образа после m и более итераций предсказать нельзя, треугольное отображение переходит в хаотическим режим.

Рис. 18. Итерации треугольного отображения.

Треугольное отображение – хаотическая система. Разбегание траекторий характеризуется показателем Ляпунова. Для xn 1 отображения f(xn):

Показатель Ляпунова для треугольного отображения вдоль типичной траектории равен =ln2>0, при r=1 инвариантная мера р(х)=1. Положительное значение показателя экспоненты демонстрирует, что система неустойчива и склонна к детерминированному хаосу. Типичная траектория треугольного отображения равномерно покрывает интервал

(0, 1).

18.5 Отображение «тент»

Отображение тент получило название за форму своего графика, напоминающего палатку – тент. Способно приводить к специфическим хаотическим эффектам.

Как показано выше, отображение Пила описывается кусочно-линейной сингулярной функцией, определённой на полуотрезке [0, 1] с разрывом по середине и непрерывной только справа. Отображение Тент описывается кусочно-линейной сингулярной функцией, определённой на всём отрезке [0, 1] без разрыва, т.е. в отличие от Пилы является непрерывным отображением и справа и слева. С этой точки зрения Тент - самая простая из известных моделей хаоса.

Отображение тент – простейшая нелинейная функция, состоящая из двух линейных функций

Другое представление: f =2min{x, 1-x}

Рис. 19. График функции тент

Отображение тент непрерывно, линейно на каждом отрезке (−1, 1/2] и [1/2, 1) (с

соответствующими наклонами и − ) и на своём графике имеют точки (0,0) и (1,0). Максимальное значение равное r достигается при x=0,5.

Отображение тент кусочно-линейно, что облегчает его анализ отображения. Хотя форма отображения тент проста и уравнения линейны (две прямые), для некоторых значений параметров это отображение может приводить к сложному поведению, включающему существование периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям и. хаотичность. Отображение тент, как и отражение сдвига Бернулли, чувствительно к начальным условиям, однако поведение отображения тент к тому же сильно зависит от величины параметра : оно может быть хорошо предсказуемым, но может быть и хаотичным.

Замечание. Логистическое отображение (см. следующую лекцию) и отображение тент топологически сопряжены при r=4 (для логистического) и =1 (для тента), т.е. их поведения совпадают.

Рассмотрим итерации xn+1=f(xn). Неподвижная точка или точка периода 1 динамической системы (27) есть точка, при которой xn+1=f(xn)=xn для всех n. Для отображения тент это означает, что Tr(xn)=xn. Как уже упоминалось, неподвижные точки - это точки пересечения отображения Tr с прямой y=x. Рис. 20(а-в) демонстрируют Т для =2/7, 1/2 и 5/6. С ростом r высота графика Tr возрастает. Если 0< <1/2, то T пересекает линию y=x один раз (при 0), тогда как если 1/2< <1, то имеются две точки пересечения.

Свойства:

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 24. Примеры равновесия и периодической орбиты в отображении тент.

Если >1, то множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка [0;1]} стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для =3 – стандартное канторово множество.

Рис. 26. Орбиты отображения тент для =1, выраженные в действительных числах.

Исследовать поведение отображения тент удобно методом паутины. Продемонстрируем этот способ на трех итерациях. Начальное значение x=0.23, число итераций равно 3, количество повторов для отображения и параметр =1 (рис. 24а, б и в). На рис. 24г показан участок паутины из 10 итераций. Начальное значение равно x= 0,789. Демонстрируется приближение к началу координат.

Рис. 27. Графики нескольких итераций отображения тент для: а – =0,325; б - =0,6 ( < 2 /2); в - =0,9 ( < 2 /2).

Показатель Ляпунова для отображения тент

Кусочно-линейное одномерное отображение на отрезке [0, 1], заданное xn+1= (1-2|xn-0,5|) проявляет хаотическую динамику.

Первые несколько итераций

где x0 – начальное значение, нанесенное выше на пять итераций (с увеличением номера итерации, обозначенного цветами, 1 –