17.2 Предсказание статического поведения системы

http://profbeckman.narod.ru/

Траектория динамической системы, заданной дифференциальным уравнением dx/dt = F(x) или дискретным отображением xn+1 = F(xn), однозначно определяется начальным состоянием xo. Хаос ассоциируется с непредсказуемым случайным поведением и поэтому ("по определению") орбиты детерминированной системы не могут быть хаотическими. Однако нелинейные системы часто обладают неустойчивыми траекториями. В этом случае расстояние δxk между точками близким их траекторий экспоненциально увеличивается со временем и неустойчивость можно обнаружить по положительному показателю Ляпунова для дифференциального уравнения (показатель Ляпунова – (х))

для отображения (показатель Ляпунова – )

Предсказуемость – мера регулярности в характере повторяющихся изменений. Например, сезонные колебания условий среды предсказуемы, а изменения, происходящие изо дня в день нет.

Грубо оценить предсказуемость можно с помощью расчёта энтропии. Пусть p1,…,pN) – конечное распределение вероятности, т.е. pi0 для всех i и p1+…+pN=1 при возникновении событий A1,…,AN. Энтропия этого распределения:

N

Hpi log( pi )

i1

вкоторой 0log0=0. H – мера степени неопределенности (неточности) события.

Наибольшее значение logN достигается при p1=…=pn=1/N: распределение имеет максимальную неопределенность, а его минимальное значение (ноль), когда одно из р равно единице, а остальные равны нулю.

Энтропия используется для описания поведения состояния пространства динамической системы. В случае единственной траектории для больших времен (в аттракторе) для P=P1,…,PN – конечного -мерного разбиения Х, энтропия для Р имеет вид

N

H ( p) Pi log Pi

i 1

где (Pi) – мера вероятности нахождения системы в «клетке» Pi.

Существует однозначная связь между энтропией и предсказуемостью. Нулевая энтропия означает, что поскольку наблюдение за состоянием динамической системы продолжалось долго и велось с хорошей точностью, то неопределенности в предсказании будущего нет. Напротив, положительная энтропия означает, что независимо от того, как долго отслеживали динамику системы и от того, насколько наблюдения были информативными, будущее непредсказуемо. H увеличивается линейно при увеличении числа наблюдений, а число возможных следствий возрастает экспоненциально. С этой точки зрения легко понять, почему «простые» системы (те, что характеризуются аттракторами, представляющими собой неподвижные точки или периодические орбиты) имеют нулевую энтропию. В переходных процессах у этих систем возможные последовательности состояний ограничены, и их число не увеличивается с количеством наблюдений. Напротив, в сложных системах число возможных последовательных состояний растет экспоненциально с числом наблюдений. Для конечномерных детерминированных систем, характеризуемых регулярными аттракторами, энтропия ограничена сверху суммой положительных показателей Ляпунова и, следовательно,

http://profbeckman.narod.ru/

конечна (определяется как энтропия Колмогорова-Синая (метрическая энтропия), которую рассчитать, однако, достаточно трудно).

Энтропия тесно связана с показателями Ляпунова. Показатели Ляпунова, являясь усредненными характеристиками аттрактора, описывают его свойства независимо от начальных условий. Исключение представляют лишь начальные условия, соответствующие нетипичным траекториям, имеющим меру нуль. Энтропия положительна в том и только в том случае, когда фазовая траектория в среднем экспоненциально неустойчива на аттракторе. Значит, спектр показателей Ляпунова такой траектории обязан содержать положительный показатель.

Формула, связывающая энтропию Колмогорова с положительными показателями Ляпунова, имеет вид:

т.е. энтропия равна сумме положительных показателей Ляпунова.

К-энтропия является удобной мерой хаоса: она равна нулю для регулярного движения, бесконечна для случайных систем, положительна и постоянна для систем с детерминированным хаосом. Для одномерных отображений К-энтропия равна показателю Ляпунова. Для систем большей размерности информация о системе теряется, так как ячейка, в которой прежде находилась система, расширяется на новые ячейки в фазовом пространстве со скоростью, определяемой ляпуновскими показателями. Поэтому правдоподобно, что скорость изменения К-энтропии, с которой происходит потеря информации о системе, равна средней сумме положительных показателей Ляпунова и зависит от инвариантной плотность аттрактора.

Количественной мерой стохастичности диссипативных систем служат характеристические показатели Ляпунова, рассчитываемые по известным уравнениям движения. При этом устойчивость траектории вдоль собственного вектора еk(t) определяется характеристическим показателем Ляпунова k. Для N-мерного фазового пространства устойчивость траектории определяется набором из N показателей Ляпунова, которые, в случае расположения их в убывающем порядке 1 2 … N, образуют спектр характеристических показателей Ляпунова (ЛХП) фазовой траектории. С помощью показателей Ляпунова проверяется чувствительность системы к вариациям начальных условий. Если траектории устойчивы по Ляпунову, то произвольное начальное возмущение, в среднем, вдоль траектории не растет. Для этого необходимо и достаточно, чтобы спектр характеристических показателей Ляпунова (ЛХП) не содержал положительных показателей; случаю положительности хотя бы одного из них отвечает хаотическое движение системы. Таким образом, критерий хаоса в терминах показателя Ляпунова имеет следующий вид:

>0 – хаотическое движение в динамической системе0 – регулярное движение в динамической системе

Положение равновесия является аттрактором, если оно асимптотически устойчиво во всех направлениях, т.е. спектр ЛХП состоит только из отрицательных показателей (устойчивый узел или фокус). Если состояние равновесия неустойчиво во всех направлениях, то оно является репеллером (неустойчивый узел или фокус). Если спектр ЛХП включает как положительные, так и отрицательные показатели, то состояние равновесия принадлежит к седловому типу (простое седло или седло-фокус). Показатели Ляпунова позволяют исследовать также поведение фазовых траекторий в окрестности периодических, квазипериодических или хаотических решений нелинейной системы ОДУ. Непериодические решения уравнений ОДУ соответствуют хаотическим аттракторам сложной геометрической структуры, которые имеют, по крайней мере, один положительный показатель Ляпунова и, как следствие, дробную Хаусдорфову (фрактальную) размерность.

http://profbeckman.narod.ru/

С показателями Ляпунова, определяющими меру расхождения траекторий, теснейшим образом связана энтропия Синая-Колмогорова (К-этропия для динамических систем). Эта величина равна сумме положительных показателей Ляпунова, характеризующих количественную меру процесса хаотизации. При этом положительность К-энтропии указывает на зарождение стохастичности или, другими словами, на экспоненциальные расходимости близлежайших территорий, локальная неустойчивость которых по своей физической сути характеризует статистические свойства динамической системы. Существует также тесная связь между показателями Ляпунова и дробной Хаусдорфовой (фрактальной) размерностью аттрактора.

Область временного (и/или пространственного) хаоса может возникать практически в любой нелинейной динамической системе уже при малом числе степеней свободы. Так, исходные представления о случайных процессах, характеризующих статистические ансамбли и большие динамические системы, оказываются переменными уже при числе степеней свободы N 3/2, например, когда на систему с одной степенью свободы действует непериодическая сила. Энтропия зависит от скорости, с которой число новых возможных последовательностей «зернистых» состояний системы растет с увеличением числа наблюдений. Но эта скорость строго связана с темпом расхождения близлежащих орбит, который измеряется показателями Ляпунова. Таким образом, наличие одного положительного показателя Ляпунова на аттракторе сигнализирует о положительной энтропии и непредсказуемости системы.

17.3 Сценарии перехода к хаосу

Переход системы к хаотическому поведению может быть обусловлено различными причинами и идти по различным маршрутам. Реализуются различные сценарии эволюции режимов динамики нелинейных систем при изменении управляющего параметра: через каскад бифуркаций Фейгенбауэра удвоения периода устойчивых циклов, через касательную бифуркацию (перемежаемость) по сценарию Помо-Манневиля, по сценарию Рюэля-Такенса через квазипериодичность и разрушение трёхмерного тора с образованием странного аттрактора и через возникновение цикла периода 3 5 5 3 2 5 2 7 2 3 2 2 ... , по квазипериодическому маршруту. Однако их, видимо, можно свести к одному маршруту.

Переход к диффузионному или пространственно-временному хаосу в диссипативных системах уравнений с частными производными осуществляется по сценарию РюэляТакенса.

К сожалению, современное состояние теории не позволяет определить предпосылки хаотического поведения с достаточной точностью и общностью.

Xаос может представлять собой некоторое многопериодическое движение. Если среди его частот есть несоизмеримые, то реализация представляет сложное изменение со временем вектора состояния хаоса (например, с возникновением многопериодических движений связан один из сценариев появления турбулентности). Сложная динамика может возникать также за счёт того, что под действием внешних факторов параметры системы меняются со временем.

Xаос возникает, если в системе протекают случайные процессы. Такие процессы могут быть связаны со случайными внешними воздействиями, а также с флуктуациями внутренних параметров. Примером случайного, хаотического процесса является броуновское движение. Динамика случайных процессов описывается уравнениями для физических характеристик – координат, скоростей и др., включающими случайные параметры (уравнениями Ланжевена), а также уравнениями для вероятностных характеристик системы. Например, если процесс марковский, то при определённых допущениях эволюция функции распределения f случайной величины определяется из уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Случайный процесс характеризуется такими параметрами, как среднее, дисперсия, корреляционная функция, спектральная функция.

http://profbeckman.narod.ru/

Важным признаком случайности процесса является убывание корреляций по мере увеличения интервала времени между сопоставляемыми наблюдениями:

Сложное поведение, обладающее основными свойствами случайного процесса, обнаруживается у многих нелинейных динамических систем (хаос динамический). Происхождение хаоса в таких системах связывают с тем, что нелинейные системы можно рассматривать как совокупность нескольких взаимодействующих подсистем, обладающих различными динамическими свойствами. Хаотическая динамика возникает в результате различного рода процессов синхронизации колебаний указанных подсистем.

В квантовых системах, описываемых линейным уравнением Шрёдингера, стохастические колебания невозможны. Однако если характерные времена переходных процессов велики, может наблюдаться явление квантового хаоса. Возможность подобного режима легко понять из того, что в классическом пределе система будет описываться нелинейными уравнениями движения, для которых такая динамика известна.

Структурно устойчивые системы – это системы в окрестностях которых не происходят бифуркации. При наличии точек неустойчивости, в системе возникают бифуркации, ведущие к хаосу, катастрофам, а иногда и к новым структурам, причём более сложным, чем исходные.

Состояние системы неустойчиво, если любые отклонения от неё со временем увеличиваются. В точке неустойчивости система становится открытой, чувствительной к воздействию внешних полей, получает информацию, ранее недоступную ей. Такие состояния неустойчивости называют точками бифуркаций и характеризуют рубеж между новым и старым. Только в точках бифуркации можно несиловым путем повлиять на выбор поведения системы. Именно свойство неустойчивости системы в критические моменты позволяет расширять пространства состояний системы, генерировать информацию в перемешивающем хаотическом слое.

Расмотрим эффект перемешивания несколько подробнее.

Замечание. Развитие динамической системы представляет чередование динамических и хаотических стадий (точнее стадий «перемешивающего слоя»): Динамическая стадия-1 (содержит меньшее количество информации) → Хаос → Динамическая стадия-2 (содержит большее количество информации) → Хаос → … Перемешивание – свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем – систем, сохраняющих некоторую меру – и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно меры (например, ограничения на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере . Перемешивающий слой – область фазового пространства мультистабильной динамической системы, обладающая следующими свойствами: – все траектории, исходящие из определенной области начальных условий, в момент времени t0 попадают в перемешивающий слой; – все траектории в момент времени Т выходят из перемешивающего слоя и переходят в область мультистабильного динамического режима; - в области перемешивающего слоя имеет место стохастический режим.

Существование хаоса в динамических системах связано со специфической неустойчивостью, называемой локальной неустойчивостью и определяемой след. образом. Пусть z(t) – точка в фазовом пространстве, определяющая состояние системы в момент времени t. Совокупность всех точек z(t) в различные моменты t образует фазовую траекторию системы, выходящую из точки z0=z(0).

Обозначим через D(t)=||z1(t)-z2(t)|| расстояние между двумя точками в фазовом пространстве, принадлежащими разным траекториям z1(t) и z2(t) в момент времени t.

http://profbeckman.narod.ru/

Пусть система совершает финитное движение в фазовом пространстве. Такая система называется локально неустойчивой, если для траекторий, близких в начальный момент времени, существует направление, в котором

( ) = (0) exp( ) , > 0 (4)

Свойство (1) имеет место для множества начальных условий, имеющих конечную меру в фазовом пространстве системы, и при сколь угодно малых возмущениях начальных условий (т. е. при D(0) 0). Поэтому локальную неустойчивость называют также чувствительностью к возмущению начальных условий.

Вследствие финитности движения (конечности объёма Г фазового пространства, занимаемого траекториями) траектории не могут разойтись на расстояния, превышающие характерный размер области Г, и начинают запутываться. Как следствие, системы с локальной неустойчивостью обладают свойством перемешивания.

Это свойство, введённое в статистическую физику в работах Дж. У. Гиббса, является более тонким, чем свойство эргодичности. Пусть z(t) – фазовая точка, характеризующая состояние системы в момент времени t, z0=z(0), f(z) – произвольная функция от z, St – эволюционный оператор, Stz(0)=z(t). Движение называется эргодическим, если независимо от выбора момента времени t

Здесь dГ(z) – элемент объёма фазового пространства в окрестности точки z. В

Из наличия перемешивания автоматически следует свойство эргодичности; обратное, вообще говоря, неверно.

Эффективное перемешивание элемента фазового объёма dГ происходит за время t~1/h0. Пример эволюции "фазовой капли", иллюстрирующий свойства локальной неустойчивости и перемешивания, показан на рис. 5.

Рис. 5. Эволюция фазового объёма диссипативной системы.

Эволюция динамических систем с перемешиванием различна в зависимости от того, является система гамильтоновой или диссипативной.

При хорошем перемешивающем преобразовании функции усложняются за счёт повышения чувствительности всех

переменных. Небольшое возмущение в любой из них приводит к значительному изменению конечного результата.

Фазовый объём гамильтоновой системы не меняется: dГt= dГ0 (dГ0 – фазовый объём в начальный момент времени, dГt – фазовый объём той же "капли" в момент времени t). Однако структура "фазовой капли" изменяется (рис. 5): "капля" принимает неправильную, амёбообразную форму и постепенно заполняет все области фазового пространства за счёт вытягивания и утоньшения отростков. Следовательно, эффективный объём капли растёт, однако в нём появляется большое количество пустот. Для характеристики "раздувания"

http://profbeckman.narod.ru/

капли вводится огрубление фазового объёма. Пусть масштаб огрубления есть e (e имеет размерность Г). Это значит, что все точки капли следует заменить на сферы объёмом e. Объединение всех таких сфер даст огрублённый объём фазовой капли Г . В отличие от истинного объёма dГt величина Г меняется со временем за счёт роста объёма пустот в огрублённой капле. Выберем начальный объём фазовой капли dГ0=e (при точности огрубления е меньший объём не имеет смысла). Величина

называется энтропией Колмогорова-Синая (или К-энтропией, КС-энтропией). Величина h не зависит от способа разбиения фазового пространства и огрубления и характеризует усреднённый по объёму инкремент неустойчивости h0 в (1), h=<h0>. Системы с хаосом имеют ненулевую К-энтропию h>0. Такие системы (т. е. системы с перемешиванием) называются К-системами.

Вследствие перемешивания фазовой жидкости происходит "забывание" начальных условий. В данном элементе объёма dГ могут присутствовать траектории из различных областей всего допустимого фазового объёма Г, если только время наблюдения t достаточно велико: t>>t~1/h. Поэтому время t может быть интерпретировано как время забывания начальных условий или время перемешивания.

Рис. 6. Фазовые траектории на 2-мерном торе.

Гамильтонова система с N степенями свободы описывается системой 2N уравнений движения.

Теорема Лиувилля: Пусть система обладает N независимыми интегралами движения I1, I2, ...,IN, коммутирующими между собой: {Ii,Ik}=0, i. k=1, 2, ...,

N({...}-скобки Пуассона). Тогда:

1)траектории лежат на N-мерном торе (пример для N=2 показан на рис. 3);

2)движение условно-периодично и характеризуется N частотами wi= wi(I1, I2, ...,

IN), i= 1, 2, ... ;

3)угловые переменные qi, характеризующие положение фазовой точки на торе, определяются из уравнений

Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов {Ii} соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т. к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем.

Углам qi соответствуют канонически сопряжённые им обобщённые импульсы (действия) Ii, так что уравнения движения имеют вид

(первое уравнение – следствие сохранения Ii). В соответствии с теоремой Лиувилля гамильтониан Н0 системы может быть записан в виде H0(I1, I2,..., IN).

Действие возмущения на систему описывается гамильтонианом

где углы qi и действия Ii – канонически сопряжённые переменные по отношению к гамильтониану Н0, e – малый параметр, eV – потенциал возмущения. Предполагаются финитность невозмущённого движения и его невырожденность: det|д2H0/дIiдIk| 0.

Согласно теории устойчивости Колмогорова-Арнольда-Мозера (1963) (КАМ), в системе с гамильтонианом (11) при достаточно малых e<e0 большинство инвариантных торов сохраняется и отличается от невозмущённых торов слабой деформацией. Они занимают фазовый объём Г – dГ(e). Часть торов, занимавшая объём dГ(e), разрушается, но их мера стремится к нулю при e 0.

http://profbeckman.narod.ru/

бифуркаций, приводящие к возникновению сложных, хаотических режимов поведения. Они получили название сценариев перехода к хаосу.

Как уже неоднократно упоминалось, в линейной системе оператор эволюции линеен, т.е.

В такой системе не может быть хаотических колебаний. В ней периодические внешние воздействия вызывают после затухания переходных процессов периодический отклик того же периода. К линейным уравнениям применим принцип суперпозиции: сумма решений есть тоже решение. К системам, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями (или их системами) принцип адитивности уже неприменим. Нелинейная система управляется нелинейным оператором эволюции:

нелинейных уравнений часто не одно, а несколько решений. Среди них могут быть как хаотические, так и регулярные, периодические решения. Какое из них осуществляется на практике, зависит от начальных условий.

Как известно, линейные дифференциальные или разностные уравнения могут быть решены преобразованием Фурье и не приводят к хаосу, а нелинейные могут приводить к хаосу. Важно, однако, понимать, что нелинейность – необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения. Так, маятник с затуханием – нелинейная задача, но хаос здесь не возникнет, напротив, задачи возбуждаемого и двойного маятника приводят к хаосу.

Простейшим видом динамического хаоса является хаотическая динамика в нелинейных системах с дискретным временем (регулярная динамика рассматривается при этом как этап, предшествующий хаосу). Математический аппарат здесь прост, фактически он сводится к теории разностных уравнений. Описание хаоса в системах с непрерывным временем сложнее, используются все возможности теории дифференциальных уравнений.

Как уже упоминалось, при изучении динамических систем предпочтение отдают отображениям, поскольку они обладают невероятно сложной динамикой с выходом на поразительные фрактальные картинки, и получить их решения можно намного легче и быстрее, чем в случае дифференциальных уравнений.

Для возникновения хаоса в системе с непрерывным временем их размерность (порядок N нелинейного дифференциального уравнения, описывающего данную систему) должна быть не ниже 3-х («период 3 производит хаос»). Такие системы (3D– динамические системы) представляются потоками траекторий в фазовом пространстве, размерность которого 3 (или выше, в соответствии с порядком дифференциального уравнения). Однако в нелинейных динамических системах с дискретным временем хаотические движения могут возникать уже в случае систем 1-го порядка (1D–дискретные динамические системы). Эти движения представляют каскады дискретных отображений и описываются нелинейными разностными уравнениями порядка 1 и выше. Любая одномерная система, в которой обнаружен регулярный цикл с периодом 3, проявит и регулярные циклы с любым периодом, а также полностью хаотичные циклы. Если одномерное отображение вида xn=f(xn) имеет цикл периода 3, то оно имеет бесконечное множество циклов всех прочих периодов. Такт с периодом 3 есть последовательность, в которой каждое состояние повторяет имевшее место тремя шагами ранее, но не состояния одним или двумя шагами ранее.

Обычно, переход к хаосу происходит через бифуркации. Бифуркация – существенно нелинейное явление; она описывает качественное изменение структуры орбиты (дискретной или непрерывной) динамической системы при изменении одного или нескольких параметров. Существуют различные типы маршрутов хаоса, генерируемые бифуркациями коразмерности один. Самым известным из них является удвоение периода.