http://profbeckman.narod.ru/

13. РЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ И РЕПЕЛЛЕРЫ

Несмотря на то, что в динамических системах переходные процессы могут длиться очень долго и их поведение важно для теории и практики, в случае динамических (как консервативных, так и диссипативных) систем обычно сосредотачиваются на долгосрочном поведении системы, игнорируя переходное поведение, связанное с запуском системы. В анализе динамического процесса ограничиваются рассмотрением особых точек и аттрактора, к которому притягиваются траектории, исходящие из начальных условий. Этого достаточно для понимания асимптотических свойств динамической системы. Аттракторы бывают разными: регулярными, случайными, странными, хаотическими, дикими, фрактальными и нефрактальными, скрытыми, самовозбуждающимися и др. Таким же разнообразием отличаются репеллеры – антагонисты аттракторов, отталкивающие фазовые траектории. Сложные динамические системы имеют несколько аттракторов и репеллеров.

В данной главе мы рассмотрим свойства простых (классических, регулярных) аттракторов и репеллеров.

13.1 Типы аттракторов

Наибольший интерес при изучении динамических систем представляют

инвариантные множества, обладающие свойством устойчивости – аттракторы.

Локализация таких множеств позволяет построить глобальный фазовый портрет системы.

Инвариантное множество – такое множество, что при начальных данных из него решения принадлежат ему всё время своего существования. Подмножество G фазового пространства называется инвариантным по отношению к фазовому потоку φt множеством или просто инвариантным множеством, если для всех допустимых t имеет место φt(G)=G. Инвариантное многообразие векторного поля и соответствующей системы дифференциальных уравнений – это такое подмногообразие фазового пространства, которое в каждой своей точке касается вектора поля.

Множество М в фазовом пространстве Х, состоящее из целых траекторий (является объединением некоторой совокупности траекторий), называется инвариантным.

Пусть γ — фазовая траектория, соответствующая решению x(t), определенному на интервале (p, q). При приближении к границам интервала (p или q), т.е. при t→p+0 и при t→q-0 ситуации могут быть существенно разными и нетривиальными.

Совокупность пределов последовательностей x(tn), для которых tn→q-0 называется ω- предельным множеством

Совокупность пределов последовательностей x(tn), для которых tn→p+0 называется α- предельным множеством.

Такие множества обозначаем ω(γ) и α(γ):

Поскольку каждая фазовая траектория однозначно определяется одной своей точкой, уместны обозначения α(x0) и ω(x0) для α- и ω-предельных множеств траектории, проходящей через точку x0. Множество M G называется инвариантным для системы x'= f(x), если вместе с каждой своей точкой x0 это множество содержит и всю фазовую траекторию системы, проходящую через эту точку.

Точка на фазовой траектории разделяет ее на две полутраектории, положительную и отрицательную. Множество M G положительно инвариантно, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и положительную полутраекторию, начинающуюся в этой точке. Аналогично понятие отрицательно инвариантного множества. Множество инвариантно, если он одновременно и положительно инвариантно, и отрицательно инвариантно. Фазовую траекторию будем называть ограниченной в области G Rn, если ее

замыкание является компактным подмножеством G.

http://profbeckman.narod.ru/

Теорема. Для любой траектории α- и ω-предельные множества являются замкнутыми и инвариантными. Если траектория ограниченная, то эти множества связны.

Траектория γ(t) периодическая, если существует такое T, что γ(t+T)=γ(t), причём γ

(t1) γ(t2) при |t1−t2|<T.

Пусть в момент времени t0 состояние системы определяется вектором x0, а в момент t – вектором x(t)=T tx0, где TDt – оператор эволюции на интервале t=t-t0. Если в фазовом пространстве существуют два множества V и L V, такие, что для любого начального состояния x0 V при t или при t - , начиная с определенного момента времени x(t), то тогда L называют предельным множеством динамической системы.

Таким образом под действием оператора эволюции все точки системы в пределе переходят в точки предельного множества. Если все точки множества V будут принадлежать L при t , то L–притягивающее предельное множество, или аттрактор.

Тогда V – бассейн притяжения аттрактора. Если все точки множества V будут принадлежать L при t - , то L – отталкивающее предельное множество, или репеллер.

Предельные множества играют важнейшую роль в нелинейной динамике. К ним относятся устойчивые стационарные состояния типа устойчивый узел и фокус, а также с устойчивые замкнутые фазовые траектории – предельные циклы. В динамических системах третьего порядка кроме этих двух типов возможны тороидальные предельные множества, соответствующие квазипериодическим фазовым траекториям, и еще более сложные хаотические предельные множества (см. далее). Если множество V состоит из двух подмножеств V=Ws Wu, причем точки, принадлежащие Ws, стремятся к L в прямом времени, а точки, принадлежащие Wu, стремятся к L в обратном времени, тогда L называется седловым предельным множеством (седлом). Множества Ws и Wu - устойчивое и неустойчивое многообразия седла.

Инвариантные множества и предельные множества аналогичны понятию аттрактора. Инвариантное множество – эволюционирующее множество. Предельное множество – множество точек, таких что, если имеет место некоторое начальное состояние, то оно заканчивается сколь угодно близко к предельному множеству (т.е. к каждой точке множества) при стремлении времени к бесконечности. Аттракторы – предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами. Возможно, что некоторые точки системы сходятся к предельному множеству, но разные точки, слегка отклонившиеся от предельного множества, могут быть сбиты и никогда не смогут вернуться в окрестности предельного множества.

Пример 1. Маятник с торможением имеет две инвариантные точки: точку х0 минимальная высота и точку х1 максимальная высота. Точка x0 также предельное множеством, так как траектории сходятся к ней; точка х1 не является предельным множеством. Из-за диссипации из-за сопротивления воздуха точка x0 также является аттрактором. Если бы не было торможения, точка x0 не была бы аттрактором.

Пуанкаре, предложивший термин аттрактор, под аттрактором подразумевал предельный цикл, и устойчивый фокус. Позднее под аттракторами стали понимать также реальные структуры в пространстве и времени, на которые выходят процессы самоорганизации в открытых нелинейных средах.

Эволюцию динамических систем часто описывают системой дифференциальных уравнений или отображений. Представление решения этих уравнений как движения некоторой точки в пространстве с размерностью, равной числу переменных называют фазовыми траекториями системы. Поведение фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных его типов, когда все решения системы в конечном счёте сосредотачиваются на некотором подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область притяжения (бассейн аттрактора), состоящую из множества начальных точек, таких, что при увеличении времени все фазовые траектории, начавшиеся в них, стремятся именно к этому аттрактору.

http://profbeckman.narod.ru/

Аттрактивность – сила притяжения, с которой система или переменная стремится к аттрактору. Для замкнутой динамической системы притягивающим множеством является замкнутое подмножество А его фазового пространства, что большинство исходных состояний будет эволюционировать к А.

Аттрактор – неразложимое притягивающее множество, т.е. множество точек в фазовом пространстве динамическойсипативной системы, посещаемых в установившемся режиме.

Аттрактор (attract – привлекать, притягивать) – состояние, к которому стремится система или переменная при своей эволюции во времени при t ; компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), периодическая траектория (пример – самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора). Формально называется узел или сток

Замечание. Аттракторы – это множества, к которым приближаются точки при последовательных итерациях отображения. Роль отображений важна, т.к. работать с ними намного легче, чем с дифференциальными уравнениями. Более того: для нахождения аттрактора, не нужно прибегать к трудоёмким итерациям и полному анализу отображения. Система сама найдёт свой аттрактор.

Аттракторы – это точки, которые действуют как виртуальные магниты – либо привлекают, либо отражают другие объекты.

Аттрактор – наименьшая единица (элементарная структура), которая не может быть разложена на два или более аттрактора с различными бассейнами притяжения. Динамическая система может иметь несколько аттракторов, каждый из которых обладает собственным бассейном притяжения. Консервативные системы не имеют аттракторов, так как их движение является периодическим. Аттракторы характерны для диссипативных динамических систем, объемы которых экспоненциально сокращаются, в результате чего аттрактор имеет объемное фазовое пространство с нулевым объёмом.

При описании динамической системы с дискретным временем отображениями, простейшими аттракторами являются неподвижные точки, а систем с непрерывным временем, описываемых дифференциальными уравнениями, аттракторы – точки равновесия. Однако известны и существенно более экзотические виды аттракторов.

Аттрактор – это состояние динамической системы (обычно равновесие, т.е. устойчивое состояние системы), к которому она стремится в процессе своего движения (развития во времени). Это замкнутое асимптотически устойчивое множество состояний динамической физической системы, к которому система стремится эволюционировать, независимо от состояний системы. В аттракторах плотность траекторий максимальна. Если система попадает в поле притяжения определенного аттрактора, то она неизбежно начинает эволюционировать к этому устойчивому состоянию, строиться по плану, заложенному в аттракторе, т.е. в текущий момент своего развития система определяется ее будущим конечным видом.

Аттрактор – математический образ установившихся режимов, представляемый в виде притягивающего множества в фазовом пространстве объекта или системы. Это асимптотически устойчивое решение замкнутой системы. К аттракторам относятся и нестационарные точки в фазовом пространстве внутренних (обобщенных) координат объекта, соответствующие программным движениям. В нелинейных динамических рядах аттрактор

определяет уровень равновесия системы.

Рис. 1. Движение к неподвижному точечному аттрактору (узел, сток) в фазовом пространстве и временном ряду.

Аттрактор характеризует относительно устойчивую структуру объекта, которая притягивает к себе всевозможные

http://profbeckman.narod.ru/

траектории элементов системы, направляя их движение и эволюцию в определенном направлении. Аттракторы – реальные формирования объективного мира, которые обладают набором оптимальных характеристик и к обретению устройства которых стремятся структуры менее совершенные, не выдерживающие давления со стороны среды в конкуренции с другими, себе подобными.

Каждый аттрактор имеет свой бассейн – такую небольшую область в фазовом пространстве, что все попадающие в неё траектории в конечном итоге «притягиваются» к аттрактору: если развитие системы идёт по траектории, проходящей через бассейн аттрактора, то в конечном итоге система окажется на этом аттракторе. Если нет существенных внешних воздействий, то фазовые траектории устойчивой линейной системы, попав в область аттрактора, остаются в ней постоянно. Каким бы ни было начальное состояние, оно будет забыто. После поглощения системы аттрактором можно примерно полагать, что состояние системы находится где-то на аттракторе, но где точно сказать нельзя.

В нелинейных системах некоторые особые точки могут отображаться непосредственно или асимптотически на бесконечность, тогда как другие точки могут находиться в другом бассейне притяжения и асимптотически отображаться в другой аттрактор; другие начальные условия могут находиться или отображаться непосредственно в непритягивающую точку или цикл.

Бассейн аттрактора - В(А) -совокупность всех фазовых траекторий, сходящихся к А.

Рис. 2. Аттрактор затухающего маятника.

Аттрактор с притягивающей неподвижной точкой. В неподвижном точечном аттракторе система стабильна.

Важно, что если система, находясь в аттракторе, испытывает внешнее воздействие, выводящее систему из этого состояния, то она спустя некоторое время вновь вернется в аттрактор. Такое свойство системы, находящейся в аттракторе, называется асимптотической устойчивостью.

Аттрактор - область в n-мерном пространстве. Если система определяется двумя или тремя переменными аттрактор динамического процесса может быть представлен геометрически в виде двухили трёхмерного графика. Если переменная - скаляр, аттрактор представляет собой линий действительного числа. Аттрактор – замкнутое и (полностью)

инвариантное множество.

Рис. 3. Стягивание отображения к некоторому ядру - аттрактору динамической системы.

Пусть t – время, а f(t,•) – функция, определяющая динамику системы. Если a есть n – мерная точка в фазовом пространстве, представляющая начальное состояние системы, то f(0,a)=a и для положительного значения t, f(t,a) – результат эволюции этого состояния после t единиц времени.

Пример 2. Если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство представляет собой плоскость R2 с координатами (x,v), где x – положение частицы, v – её скорость, a=(x,v), а эволюция дается выражением f(t,(x,v))=(x+tv,v).

Притягивающее множество – множество K, обычно компактное, удовлетворяющее условию: существует такая окрестность U K, что любая положительная полутраектория, начинающаяся в точке из U, имеет ω-предельное множество, целиком лежащее в K.

http://profbeckman.narod.ru/

Объединение всех U с указанным свойством есть максимальная окрестность, которая называется областью притяжения или бассейном притягивающего множества.

Аттрактором – притягивающее множество, обладающее свойствами:

1)оно инвариантно;

2)оно компактно (замкнуто и ограничено);

3)оно неразложимо, т.е. у него нет таких подможеств, которые удовлетворяют предыдущим условиям (притягиваемость, инвариантность,

Нет никакого непустого подмножества имеющего первые два свойства.

Аттрактор А отображения f: В В – пересечение образов фазового пространства при итерациях отображения:

A f n B .

Если множество А – аттрактор отображения f, то f(A)=A.

Аттрактор – притягивающее предельное множество. Пусть с течением времени произвольное начальное состояние из притягивающей области, включающей в себя аттрактор релаксирует к этому аттрактору. Движение, которому отвечает фазовая кривая в области притяжения, есть переходный процесс. Установившееся движение характеризуется принадлежностью фазовых траекторий к некоторому инвариантному предельному множеству, т. е. аттрактору. Аттракторы типа состояний равновесия, предельных циклов или n-мерных торов называют простыми или регулярными.

Для конкретности, рассмотрим дискретную динамическую систему, состоящую из локально компактного метрического пространства Х (фазового пространства), с функцией f от Х, описывающей эволюцию системы на одной временной ступеньки. Пусть T X – такое компактное множество, что f(T) содержится внутри T. Тогда пересечение A вложенной последовательности множеств Т f(T) f 2(T) ... называется захватом аттрактора, а Т – область (силового) захвата аттрактора. (Здесь f n – означает повторение n- ой итерации f). Это пересечение всегда инвариантно f(A)=A и его притягивающий бассейн B(A) всегда открытое множество, содержащее T.

Пример захваченного множества притяжения показан на рис. 4. Здесь фазовое пространство X – плоскость в удалении от начала координат, отображение f задано в полярных координатах по формуле (r,θ) (1.5+.025r+0.5cosθ,2θ), область захвата T – кольцом 1<3, а бассейн B(A) – все X. Такие захваченные наборы множеств обладают

свойством устойчивости.

Рис. 4 . Серое кольцо представляет собой область захвата T, отображение f(T) покрашено красным; соответствующий аттрактор показан красным цветом.

Решения одномерного линейного разностного уравнения бесконечности, если |a|>1, поэтому нет аттрактора и нет

бассейна притяжения. Но если |a|<1 все точки на фазовой траектории асимптотически (или непосредственно в случае 0) стремятся к точке 0 (аттрактор), а вся числовая линия - бассейн притяжения. Аналогично, в линейном матричном разностном уравнении в терминах квадратной матрицы A все элементы динамического вектора Х расходятся до бесконечности, если наибольшее собственное значение A больше единицы по абсолютной величине, то нет аттрактора и нет бассейна притяжения. Но если наибольшее собственное значение меньше 1, все начальные векторы асимптотически сходятся к нулевой особой точке, которая является аттрактором; все n-мерное пространство начальных векторов является бассейном притяжения.

http://profbeckman.narod.ru/

0) разделяют области притяжения Ws(−1, 0) и Ws(1, 0). На рис. 7 показаны области притяжения состояний равновесия (−1, 0) и (1, 0) динамической системы для ε = 0.15.

Аттракторы бывают четырёх основных типов: неподвижная точка (равновесие), цикл (периодическое колебание), тор (квазипериодическое колебание) и странный (хаотический).

Все аттракторы нелинейных систем можно разбить на два класса: простые (регулярные) и сложные (нерегулярные, случайные, хаотические) аттракторы. К регулярным аттракторам относятся гладкие подмногообразия фазового пространства. Это

– особые (устойчивые, неподвижные точки (узел, фокус, седло, центр), к которым стремится фазовая диаграмма; фазовая диаграмма стремится к одному значению; апериодические процессы; отображение стока), устойчивые предельные циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой; стремление к повторяющемуся набору значений; реализуется в случае периодических процессов) и инвариантные торы (траектория стремится к поверхности тора) произвольной размерности и произвольного конечного периода. Каждый более сложный регулярный аттрактор рождается в результате бифуркации (Андронова-Хопфа или удвоения периода) из более простого регулярного аттрактора.

Замечание. Неподвижная точка динамической системы не обязательно является аттрактором. Если пиалу перевернуть вверх дном, то вершина пиалы - неподвижная точка для шарика, но не аттрактор, а

репеллер.

Рис. 8. Примеры регулярных аттракторов: устойчивая неподвижная точка (слева) и предельный цикл (справа).

Существуют также характерные только для диссипативных систем странные аттракторы (эволюция сложных систем во времени),

которые, в отличие от обычных не являются подмногообразиями фазового пространства и движение точки на них неустойчиво; любые две траектории на нём всегда расходятся, малое изменение начальных данных приводит к различным путям развития. Эволюция странного аттрактора проходит через множество возможных физических состояний непериодична (хаотична), что приводит к эволюции через множество состояний, определяющих фрактальный набор. Большинство реальных физических систем (включая фактические орбиты планет) включают странные аттракторы. Странные аттракторы - это ограниченные области фазового пространства (положительные характеристики Ляпунова), имеющие нулевую меру в фазовом пространстве вложения и фрактальную размерность. Траектории внутри странного аттрактора неустойчивые и кажутся случайными.

Регулярным аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве: равновесному состоянию – точка, периодическому движению или предельному циклу – замкнутая кривая, а квазипериодическому движению - поверхность в трёхмерном фазовом пространстве. Спектр возможных структур-аттракторов, на которые выходят эволюционные процессы в системе, не являются сплошным. В процессе эволюции система может перейти в то, или в это состояние, но не во что-то среднее между ними.

Для двупараметрических систем (т.е. систем из двух ОДУ с двумя неизвестными функциями x(t), y(t)) регулярные аттракторы представляют собой неподвижные точки (узел, фокус, седло, центр), к которым стремятся решения системы нелинейных уравнений:

http://profbeckman.narod.ru/

перемещению через каждое состояние. Орбита планеты, вращающейся вокруг звезды, является периодическим аттрактором, биение сердца, колебания маятника, самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью и др. В таких системах малое отклонение от траектории-цикла приводит к траектории, которая со временем сколь угодно мало отклоняется от траектории-цикла. Подобные циклы называются предельными циклами или асимптотически устойчивыми циклами. Важно,

что дифференциальные уравнения на плоскости могут иметь только регулярные аттракторы первых двух типов (особые точки и предельные циклы).

Рис. 10. Трёхмерная картина изменения фазовой траектории критической точки zc для комплексного квадратичного полинома fc(z)=x*z+c, где константа

c=0,37496784+i*0,21687214 (множество Мальдеброта). Оси трехмерной декартовой системы координат: ось х - вещественная часть комплексной

переменной z, ось y – мнимая часть комплексной переменной z, ось z – число итераций (целое число, частота, с которой посещаются точки в комплексной плоскости). Видно, что орбита критической точки стремится к слабо притягивающей неподвижной точке. Точка в комплексной плоскости непосредственно под пиковой частотой есть аттрактор неподвижной точки.

Замечание. Предельный цикл идеального маятника не является аттрактором предельного цикла, так как его орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника вблизи любой точки периодической орбиты существует еще одна точка, принадлежащая другой периодической орбите, поэтому первая не притягивает фазовую траекторию.

Рис. 11. Фазовый портрет Ван дер Поля: притягивающий предельный цикл

(изолированная закрытая орбита; соседние с ней траектории не закрыты – они имеют спиралевидную форму, закручивающуюся к предельному циклу, или удаляющиеся от него).

Более сложным является периодическое поведение, которому соответствует круговой аттрактор. Ещё сложнее выглядит циклическое движение по поверхности тора. Спиралевидные круги

после множества оборотов возвращаются в исходную точку и цикл повторяется. Гораздо более запутанными являются квазипериодические колебания, когда в системе наблюдаются две частоты, причём их отношение – иррациональное число. Эта ситуация реализуется только если размерность фазового пространства не меньше трёх. Асимптотическое поведение такой системы соответствует заполнению траекторией поверхности двумерного тора (поверхности бублика). Далее степень сложности может нарастать при увеличении числа независимых частот. Траектория при этом может заполнять трёхмерный, четырёхмерный и многомерный тор.

Пример аттрактора типа тора – вращение Земли вокруг Солнца с определённой частотой и колебание обиты (периодические отклонения от средней орбиты) с другой частотой. Если эти две частоты несоизмеримы, то предельный цикл переходит в предельный Nt-тор. Временной ряд, соответствующий этому аттрактору, является квазипериодическим: дискретно выбранная сумма периодических функций (не

http://profbeckman.narod.ru/

обязательно синосоидальных волн) с несоизмеримыми частотами. У такого временного ряда нет строгой периодичности, но ее спектр власти все еще состоит только из отдельных линий.

Аттрактор типа тор – это система, которая с течением времени изменяется в деталях, но сохраняет свою форму. В ней траектории создают фигуру в виде пончика.

Рис. 12. Аттрактор 2-тор.

Инвариантный тор – обобщение (в

определенном смысле) понятия цикла. Двумерный тор топологически представляет собой декартово произведение двух окружностей, в трехмерном пространстве его можно реализовать как поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, расположенной вне круга. В n-мерном пространстве можно построить (n-1)-мерный тор, представляющий собой декартово произведение n-1 окружностей. Движение по двумерному тору представляет собой в окружающем пространстве как сумма двух

периодических движений: по одной угловой координате и по другой. Если движение по каждой координате равномерное, то общий характер этого движения определяется условием соизмеримости периодов. Если периоды соизмеримы, то есть общий период двух движений и в результате суммарное движение оказывается периодическим. Если же периоды несоизмеримы, то движение непериодическое, но при этом в процессе движения траектория подходит сколь угодно близко к заданной точке. Такое движение называется квазипериодическим. При этом движении траектория всюду плотно наматывается на тор. Отметим, что «плотно» не значит «всюду». Множество таких всюду плотных намоток по мощности континуум.

В системах дифференциальных уравнений Т-периодическое движение по циклу является одним из наиболее простых движений и характеризуется наличием одной частоты ω=2π/Τ. Значительно более сложным является многочастотный режим движения, характеризующийся наличием нескольких независимых частот 1,..., n. Движение в таком режиме можно представить как движение по поверхности n-мериого инвариантного тора,

задаваемого углами i i0 it, i 1,n. Размерность m фазового пространства при этом должна быть не меньше, чем n+1.

Поведение траекторий системы на поверхности тора существенно зависит от соотношения между частотами ωi, i=1,...,n. В случае, например, n=2 движение по двумерному тору будет периодическим тогда и только тогда, когда отношение частот

1(T)= 10+ 1T= 10+2 k, а 2(T)= 20+ 2T= 20+2 m, т.е. углы 1 и 2 задают одну и ту же точку на поверхности тора и поэтому, за время Τ траектория возвращается в исходную

точку.

Рис.13. Фазовый портрет интегрируемой системы с двумя степенями свободы.

В случае когда частоты 1 и ω2 несоизмеримы, т.е. их отношение иррационально, фазовая траектория