http://profbeckman.narod.ru/

Катастрофы – резкие значительные изменения переменных состояния динамической системы, вызванные малыми возмущениями в правых частях уравнений, в частности, малыми изменениями параметров.

Иногда классификацию типов бифуркаций ведут по теореме Купки-Смейла на основе трёх общих свойств векторных полей: гиперболические точки равновесия, гиперболические периодические орбиты, трансверсальные пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий точек равновесия и периодических орбит.

Бифуркации можно классифицировать по характеру изменения стабильности равновесных решений. Такие изменения могут происходить двумя путями: собственное значение системы, линеаризованной относительно равновесного решения, может проходить через нуль, или пара ненулевых собственных значений может пересекать мнимую ось. Первый случай соответствует седло-узловой (касательной) бифуркации и описывает рождение или коллапс двух равновесий (например, стабильный узел, взаимодействующий с седлом и аннулирующий его). Это происходит, когда многообразие, связанное с заданным равновесием, пересекает себя. С другой стороны, когда пересекаются многообразия, связанные с различными равновесиями, происходит обмен стабильности – это соответствует транскритической бифуркации или бифуркации вил. Второй случай соответствует бифуркации Хопфа и описывает рождение семейства периодических орбит (предельный цикл) после изменения устойчивости фокуса.

Цель теории бифуркаций – определение существования и устойчивости различных ветвей решений, таких как неподвижные точки и периодические орбиты. Различные равновесия возникают друг за другом непрерывным образом, по мере изменения бифуркационного параметра μ в точке бифуркации μ=μ0.

Рис. 2. Типы бифуркационных особенностей (на примере зависимости нагрузки упругую систему, Р, от обобщённой координаты, q): а) бифуркация в результате пересечения двух траекторий равновесий; б, в) касательные бифуркации; г) изолированная точка бифуркации; д) двукратная критическая точка «ветвление в вершине холма»

15.2 Элементы теории бифуркаций

Рассмотрим виды бифуркаций, возникающих в ОДУ с непрерывным временем. Бифуркациям в отображениях посвящена следующая глава. Прежде, чем начать рассмотрение сложных задач нелинейной динамики, напомним некоторые положения теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Теоретическая динамика основывается на решении гладкого семейства нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями F, зависящими от координат векторов системных параметров μ, лежащих в области L пространства Rk.

http://profbeckman.narod.ru/

В простом варианте автономное дифференциальное уравнение имеет вид

dt

Для Ур.2 с начальным условием u(t0)=u(0) удаётся провести детальное качественное исследование – определить все аттракторы, доказать, что именно к ним траектории сходятся при t→+∞ и указать, при каких именно начальных данных на какой аттрактор происходит выход.

Интересные, с физической точки зрения, системы обычно включают некоторые параметры, появляющиеся при составлении систем уравнений. Когда эти параметры изменяются, при определенных их значениях могут произойти изменения в качественной структуре решений (бифуркации).

Рассмотрим теперь роль параметров (например, ) в склонности ОДУ проявлять эффекты бифуркации.

Пример 1. Уравнение экспоненциального роста. Найти бифуркационное значение параметра

стационарное значение х0=0 – неустойчиво, при <0 – устойчиво; 0=0 – бифуркационное значение параметра. Напомним, что биологический смысл величины – разница коэффициентов рождаемости и смертности. Если рождаемость преобладает – популяция растёт, если преобладает смертность – вымирает. Переход от выживания к вымиранию – качественная перестройка системы.

заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями F, зависящими от координат векторов системных параметров μ, лежащих в области L пространства Rk. Здесь x(x1, , xn)T – фазовые переменные (вектор переменных, несколько решений этого уравнения); (1, , m)T – вектор параметров, F – заданная аналитическая гладкая функция х и с непрерывными частными производными всего порядка по х и μ.

Автономная система ОДУ 1-го порядка с параметрами заданными на прямой описывает поток в фазовом пространстве. Наиболее простая ситуация реализуется в одномерном случае, когда x, , F(, ) – скаляры.

Величина

x

U x, F z, dz

в теории динамических систем называется потенциалом. Максимумы и минимумы потенциала соответствуют стационарным состояниям х. Причём максимум потенциала соответствует неустойчивому состоянию, а минимум – устойчивому.

Возможность бифуркации в системе связана с грубостью системы.

Векторное поле F(x, 0) системы (3) (или дифференциальное уравнение (3)), является грубым, если существует окрестность U L вектора μ0, такая что для всех μ U векторные поля F(x, μ) топологически эквивалентны векторному полю F(x, μ0).

Точками бифуркации являются те, и только те совокупности значений параметров, при которых система является негрубой, т.е. при которых отсутствует непрерывная зависимость фазового портрета системы от её параметров. Предположим, что в пространстве параметров нет областей, заполненных исключительно негрубыми

http://profbeckman.narod.ru/

системами вида (3). Тогда полное качественное исследование семейства систем (3) сводится к установлению разбиения пространства параметров на области с одинаковой (грубой) качественной структурой и к установлению этой качественной структуры. Разбиение пространства параметров на грубые области и разделяющие их (k-1)-мерные пленки, соответствующие негрубым системам, называется бифуркационной диаграммой.

Коразмерность бифуркации показывает, от скольких параметров должна зависеть система дифференциальных уравнений, чтобы бифуркация была для неё типичной. Чем выше коразмерность, тем более нетипичной будет бифуркация. В трёхмерном пространстве параметров бифуркация коразмерности 1 происходит на некоторой гладкой двумерной поверхности, коразмерности 2 – на линии, а коразмерности 3 – в точке.

Зафиксируем некоторое = 0, и рассмотрим фазовые портреты системы при данном значении параметра, а также при > 0 и < 0. Фазовые портреты топологически эквивалентны, если существует невырожденное непрерывное преобразование координат, которое переводит все элементы одного фазового портрета в элементы другого. Если фазовые портреты при значениях > 0 и < 0 топологически не эквивалентны, это означает, что при = 0 происходит качественная перестройка системы. Значение 0, для которого поток Ур.2 структурно неустойчив, называется бифуркационным значением параметра .

В положении равновесия (х0, 0) могут сходиться несколько ветвей равновесий, такая точка (х0, 0) называется точкой бифуркации.

Если ∂F/∂x=0 в ближайшей окрестности μ=μ0, то при одном значении μ, может существовать несколько равновесных решений x0. Если система имеет множество решений, то важность решения определяется соображениями устойчивости. Теория бифуркации выясняет, как множественность решений изменяется с параметром μ и свойствами устойчивости бифуркационных решений. Локальная бифуркация затрагивает явления вблизи одной точки. Устойчивость равновесных решений меняется при изменении μ. Часто равновесное решение х0(μ) будет устойчиво при μ<μо и неустойчиво при μ≥μ0. Таким образом, при медленном увеличении μ равновесное решение х0(μ) становится неустойчивым при μ0, и система способна перейти в другое устойчивое решение, если оно доступно. Бифуркации теория пытается выяснить, как изменяется стабильность различных равновесий, когда μ изменяется вблизи μ0. Этот процесс существенно зависит от типа нелинейности уравнения.

Ур.5 определяет положение равновесия и задаёт на плоскости параметров (x, ) кривую в параметрическом виде, называемую кривой равновесий.

В общем случае кривая равновесий может иметь несколько ветвей. Например, для системы x x2 2 она состоит их двух ветвей x=± . Для функции у=х4- 2 значение

параметра =0 соответствует точке бифуркации, так как при переходе от отрицательных значений к положительным стационарное состояние х=0 стало неустойчивым и

отрицательных значениях стационарные состояния вообще отсутствуют, а в точке =0 происходит рождение таких состояний, один из которых устойчив, а другой – неустойчивый. В двух последних случаях значения =0 соответствуют точкам бифуркации, хотя и разных типов.

Кривая равновесия делит плоскость на области, в которых функция F сохраняет знак. В наиболее простой и наиболее распространённой ситуации в соседних областях,

http://profbeckman.narod.ru/

граничащих по кривой равновесия, знаки функции F различаются. Характер устойчивости определяется знаком производной F в точке равновесия х0. Если при увеличении x при переходе через кривую равновесия знак функции F меняется с "+" на "−", то F0<0 и положение равновесия x0 асимптотически устойчиво по теореме Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Наоборот, при переходе от "−" к "+" производная F0>0 и по той же теореме положение равновесия неустойчиво. Таким образом, у кривой равновесий имеются ветви, состоящие из устойчивых и неустойчивых положений равновесия.

Рассмотрим зависимость решений Ур. 5 от параметра . Пусть нам известно некоторое решение Ур.5 (х0, 0). Найдём решение Ур.5 при малом изменении параметра= 0+ . Можно показать, что при изменении на , решение изменится на х. Если

будет находиться в точке х0+ х и это состояние равновесия будет единственным, бифуркация не возникает. В этом случае точку х0 называют регулярной особой точкой.

Если F x0 , 0 x 0 , тоx

две ветви решения с различными касательными.

Такая точка называется двойной.

Если Det<0, то не существует касательных, проходящих через точку (x0, 0), следовательно, мы имеем изолированное особое точечное решение – сопряженную точку.

Если Fxx = 0, то x F или =0, что соответствует кривой, касательная к

2Fx

которой в точке (x0, 0) вертикальна. Можно показать, что на одной из ветвей меняет знак производная xλ. Такая особая точка называется особой экстремальной.

Напомним, что неподвижной точкой может быть седло, узел, вырожденный узел, дикритический узел, фокус и центр, а характеристиками бифуркаций – коразмерность – количество параметров, необходимых для реализации бифуркации (в точке бифуркации коразмерности k выполняется k бифуркационных условий (условий типа равенств) и ряд условий невырожденности – условий типа неравенств); бифуркационное многообразие – гиперповерхность размерности k в пространстве параметров, заданная бифуркационными условиями. При значении параметра х0( ) имеет место стационарное решение Ур. x F x, : F(x0( ), ).

устойчивой или нет. В "грубом" случае при <0 имеет место устойчивость, а при >0 - неустойчивость.

Впространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины, называется бифуркационной диаграммой.

Известны такие виды бифуркаций, как смена устойчивости (при переходе параметра через некоторое значение ветви кривой равновесий пересекаются, и устойчивая ветвь теряет устойчивость, а неустойчивая наоборот становится устойчивой), складка (при варьировании параметра вблизи некоторого положение равновесия исчезает, либо появляются два близких положения равновесия, одно из которых устойчиво, а второе – неустойчиво), вилка (при переходе через бифуркационное значение параметра дополнительно появляются две ветви кривой равновесия при этом ветвь x = 0 остается, однако изменяется характер ее устойчивости).

Всистемах, зависящих от двух параметров, или в системах с определенным типом симметрии встречается бифуркация, при которой рождается сразу два устойчивых предельных цикла.

Вмомент времени, когда система находится вблизи точки бифуркации, существенную роль начинают играть малые возмущения значений ее параметров. Эти возмущения могут носить как чисто случайный характер, так и быть целенаправленными. Именно от них зависит, по какой эволюционной ветви пойдет система, пройдя через точку бифуркации. Если до прохождения точки бифуркации, поведение системы детерминировано, то в самой точке бифуркации решающую роль играет случай.

Динамическая система

называется грубой, если существует такое малое δ, что все динамические системы, описываемые уравнениями

имеют топологически одинаковую структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. На фазовой плоскости грубых систем могут быть только простые состояния равновесия: фокус, узел, седло, устойчивый и неустойчивый предельные циклы.

Рассмотрим возможные бифуркации динамической системы (9) при изменении параметра . Стационарным состояниям системы (9) ( х 0, у 0 ) на фазовой плоскости соответствуют точки пересечения линий P(x, y; )=0 и Q(x, y; )=0. При изменении параметра число таких точек пересечения может измениться, произойдет бифуркация (рис. 6). Примером такой бифуркации может служить слияние узла и седла в сложную

http://profbeckman.narod.ru/

особую точку и ее исчезновение (рис. 7). Еще одним примером может служить бифуркация в системе x 2 x x 0 .

При γ>0 на фазовом портрете системы имеется устойчивый фокус или узел, при γ =0 – центр, при γ<0 – неустойчивый фокус или узел. В данном случае число особых точек не меняется, а меняется их характер. Кроме того, возможны бифуркации, связанные с изменением расположения сепаратрис седла.

Рис. 3. Изменение числа стационарных точек Ур.13 при изменении параметра .

Рис. 4 Слияние узла и седла в сложную особую точку и её исчезновение при дальнейшем увеличении параметра

Рис. 5 Изменение характера особой точки: неустойчивый фокус-центр-устойчивый фокус.

Индексы особых точек и замкнутых траекторий – индексы Пуанкаре.

Рассмотрим на фазовой плоскости системы (10) замкнутую кривую C, не проходящую через состояния равновесия. Возьмем на этой кривой произвольную точку S и проведём через неё вектор, направление которого совпадает с направлением фазовой траектории в точке S. Будем перемещать точку S по контуру C против часовой стрелки. Направление вектора будет при этом меняться. Когда точка S сделает один полный оборот, вектор займет прежнее положение. Полное приращение угла поворота вектора при движении по

контуру составит 2πj, где j – целое число. Число j

называется индексом замкнутой кривой по отношению к векторному полю. Поскольку векторное поле задается Ур.8, то направление вектора поля в точке (x, y) определяется выражением

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 6. К вычислению индекса Пуанкаре.

Интеграл (13) – интеграл от полного дифференциала. Он отличен от нуля только в том случае, когда внутри контура интегрирования лежит особая точка, то есть, аналитичность подынтегрального выражения нарушается. Индексом особой точки называют индекс простой замкнутой кривой, охватывающей эту и только эту особую точку. Индекс седловой точки j=-1, индекс фокуса, узла и центра j=+1 (рис. 6). Индекс фокуса и узла не зависит от того, является ли особая точка устойчивой или неустойчивой. Индекс замкнутой кривой, являющейся замкнутой фазовой траекторией системы (8), j=1. Индекс замкнутой кривой, охватывающей несколько особых точек, равен сумме индексов этих особых точек. Следствия:

–Внутри замкнутой фазовой траектории находится, по крайней мере, одна особая точка.

–Если внутри замкнутой фазовой траектории находится только одна особая точка, то это не седло и не особая точка с индексом, отличающимся от j=+1.

–Если внутри замкнутой фазовой траектории находится несколько простых особых точек, то их число всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа остальных особых точек

Поскольку структурно устойчивые поля являются грубыми, то кандидатами в точки бифуркации являются в первую очередь те значения параметров 0, при которых векторное поле F(x, μ0) имеет негиперболические особые точки, негиперболические циклы или сепаратрисные контуры. Грубость как частный случай структурной устойчивости может быть как локальной, так и нелокальной (глобальной), поэтому бифуркации также могут быть локальными и нелокальными.

Локальные бифуркации – бифуркации положений равновесия.

К локальным бифуркациям относятся бифуркации негиперболических особых точек, циклов и торов, которые приводят к локальному качественному изменению фазового портрета системы. К нелокальным бифуркациям, нелокально меняющим фазовый портрет системы, относятся бифуркации сепаратрисных контуров и нерегулярных аттракторов.

Среди локальных бифуркаций наиболее интересными с точки зрения различных приложений являются бифуркации устойчивых предельных множеств (регулярных аттракторов), так как они приводят к изменениям наблюдаемых в реальных экспериментах установившихся режимов. Бифуркации аттракторов принято разделять на мягкие (внутренние) и жесткие (кризисы аттракторов). Мягкие бифуркации приводят к

http://profbeckman.narod.ru/

топологическим изменениям самих аттракторов, но не приводят к их исчезновению. Жесткие бифуркации приводят к исчезновению аттракторов.

Основная задача исследования динамической системы, описываемой эволюционными уравнениями, заключается в анализе структуры разбиения пространства состояний на фазовые траектории и влияния параметров динамической системы на изменения фазового портрета. Картина расположения фазовых траекторий и составляет фазовый портрет системы. В случае автономных динамических систем первого порядка x f (x) фазовый портрет полностью определяется состояниями равновесия и их устойчивостью, а также бифуркационными значениями параметра или бифуркационными границами при наличии нескольких параметров.

Пример 3. Построить фазовый портрет системы и определить бифуркационные значения параметра, если таковые существуют. x x2 2x 2 (a 2)(x2 2x) 3a 3 Построить фазовый

портрет исходной системы и определить бифуркационные значения параметра, если таковые существуют. Фазовым пространством является вся ось х. Определим состояния равновесия. Для этого введем замену: x2-2x=y и приравняем нулю правую часть: y2-(a+2)y+3a-3=0. Найдем корни этого уравнения: y1=3, y2=a-1. Тогда с чётом замены получим четыре корня: х1=-1, х2=3,

случаи.

1) При a<0 система имеет два состояния равновесия х1=-1, х2=3 и фазовый портрет будет следующий:

Из фазового портрета видно, что состояние равновесия х1=-1устойчиво, а х2=3 неустойчиво.

2) При а=0, х3,4 и система имеет три состояния равновесия: х1=-1, х2=3, х3=1. Фазовый портрет будет следующий:

То есть х1=1 устойчивое состояние равновесия, х2=3, х3=1 - неустойчивые состояния равновесия, значение является бифуркационным. Динамическая система негрубая.

3) При 0<a<4 система имеет четыре различных состояния равновесия: х1=-1, х2=3, х3 1 а

х4 1 а и фазовый портрет будет такой:

4) При а=4 корни попарно сливаются: х1=х3=-1, х2=х4=3, то есть система (15) имеет два состояния равновесия. Фазовый портрет будет в этом случае иметь вид:

Оба состояния равновесия неустойчивы. Динамическая система негрубая.

неустойчивые. Значение параметра а=4 не является бифуркационным, так как при 0<a<4 и при a>4 фазовые портреты системы одинаковы. Можно считать, что при значении a=4 динамическая система имеет бифуркацию в точке (всего два неустойчивых состояния равновесия). Таким образом, на оси параметра возможны следующие ситуации, связанные количеством и устойчивостью состояния равновесия исследуемого уравнения:

http://profbeckman.narod.ru/

Пример 4. Построить фазовый портрет системы и определить бифуркационные значения параметра а: x x4 2x2 1 a, a R. Возможны два способа решения задачи: графический

и аналитический.

Графический способ заключается в построении кривой f(x,a). Анализируя точки пересечения прямой a = const с данной кривой, можно получить ответ о количестве состояний равновесия и их устойчивости при конкретном значении параметра a. Устойчивость в данном случае определяется, как и в случае динамической системы без параметра. Приравнивая правую часть изучаемого уравнения нулю, получим: a=x4-2x2+1=(x2-1)2. Необходимо построить график этой функции. Для этого найдем точки пересечения (касания) еѐ с осями координат. Точки касания с осью 0X (a=0) находятся из уравнения: (x2-1)2=0, решением которого являются два значения х1,2=+1, при которых

производная da 0 Пересечение оси 0а (х=0) происходит при а=1. Имея кривую состояния dx

равновесия а=(х2-1)2, определяем знаки ̇ в образовавшихся областях, устойчивость состояния равновесия и строим фазовые портреты исследуемой динамической системы. Значения и являются бифуркационными. На рис. 8а приведены фазовые портреты при a<1, a=0, 0<a<1, a=1, a>1. Используя предыдущие результаты, на плоскости ax0, где x0 – координаты состояния равновесия, построим бифуркационную диаграмму, на которой расположены устойчивые и неустойчивые стационарные равновесия (рис. 8б).

Рис. 8 Фазовые портреты при a<1, a=0, 0<a<1, a=1, a>1.

Аналитический способ Данный способ заключается в непосредственном нахождении корней уравнения f(x,a)=0 и бифуркационных значений. Далее строятся фазовые портреты при различных значениях параметров. В рассматриваемой задаче фазовым пространством системы является вся ось x. Для определения состояний равновесия решим исходное уравнение относительно x, введя замену y=x20: y2-2y+1-a=0. Решая это уравнение, получаем два корня, зависящие от параметра а:

Следовательно, в зависимости от значения параметра система будет иметь различные фазовые портреты. При a<0 нет состояний равновесия. Фазовый портрет:

При a=0, корни попарно сливаются: x1=x2=-1, а x3=x4=1: система имеет два состояния равновесия: x1=-1, x2=3 и фазовый портрет имеет вид:

http://profbeckman.narod.ru/

Из приведенных портретов следует, что зависимости a=b2/4 и a=0 являются бифуркационными, они разбивают плоскость параметров (a, b) на три области с качественно различными фазовыми портретами. На рис. 10 жирными линиями отмечены бифуркационные границы, и в образовавшихся областях приведены фазовые портреты.

Рис. 10. К примеру 10.

Пример 7. Построить бифуркационные кривые и фазовые портреты динамической системы: x x3 x2 (a b) abx. Состояния равновесия находятся из уравнения x3-x2(a+b)+abx=0. Путем

разложения на множители левой части приходим к уравнению: x(x-a)(x-b). В зависимости от значений a и b возможен ряд различных фазовых портретов. При фазовый портрет имеет вид: x1=0, x2=a, x3=b. При a>0, b<0 фазовый портрет имеет вид:

При a>0, b>0, a>b фазовый портрет имеет вид:

При a<0, b<0, |b|>|a| фазовый портрет имеет вид:

Можно привести еще несколько фазовых портретов с другими неравенствами относительно a и b, но качественных изменений не будет, будет меняться только нумерация состояний равновесия (a ≠ 0,b ≠ 0). При , имеем два неустойчивых состояния равновесия.

При a=0, x1=x2=0, x3=b, имеем два неустойчивых состояния равновесия

При , имеем два неустойчивых состояния равновесия.

При a=0, b=0, x1=x2=x3=0 имеем одно неустойчивое состояния равновесия.