http://profbeckman.narod.ru/

При определенных фиксированных значениях параметров и отображение (1) демонстрирует свойство мультистабильности − одновременное сосуществование двух и более притягивающих подмножеств на фазовой плоскости. На рис. 22а показаны фазовые портреты двух притягивающих подмножеств и их бассейны притяжения при фиксированных =1.078 и =0.3. Область белого цвета соответствует бассейну притяжения хаотического аттрактора в виде 4-х частей или лент; область серого цвета

является бассейном притяжения 6-ленточного хаотического аттрактора.

Из рис. 22 видно, что области притяжения двух сосуществующих хаотических множеств и их границы довольно сложные и, следовательно, реализация в системе того или иного режима будет строго зависеть от точности задания начальных условий.

Рис. 24. Карта динамических режимов на плоскости параметров отображения Эно.

Бассейн притяжения хаотического аттрактора при =1.32 выглядит однородным, что свидетельствует о наличии лишь одного аттрактора в системе (2). Однако известно, что в системе сосуществуют устойчивые циклы больших периодов с очень узкими бассейнами притяжения, которые в численном счёте не регистрируются. За критической точкой перехода к хаосу (приблизительно =1.059 при =0.3) в системе Эно наблюдается каскад бифуркаций связанности.

Бифуркация связанности представляет собой объединение частей (лент) хаотического аттрактора, посещаемых изображающей точкой в определенном порядке.

Для двумерного отображения бифуркация связанности выглядит как объединение соседних интервалов (отрезков), заполненных точками хаотической последовательности. На рис. 24 показаны фазовые портреты хаотических аттракторов в отображении Эно при последовательных бифуркациях связанности. При =1.06 в отображении (1) наблюдается 8- ленточный хаотический аттрактор (или восьмисвязанный хаотический аттрактор).

В результате бифуркации связанности, которая происходит при=1.069, соседние отрезки восьмисвязанного хаотического аттрактора сливаются и образуют четырехсвязанный аттрактор. При последующем увеличении параметра a реализуются еще 2 бифуркации связанности, в результате которых четырехсвязанный хаотический аттрактор преобразуется в двухсвязанный, который в свою очередь переходит в объединенный развитой хаотический аттрактор Эно.

21.2 Отображение подковы и отображение пекаря

Отображение пекаря – нелинейное отображение единичного квадрата на себя, которое демонстрирует хаотическое поведение. Название «отображение пекаря» происходит из-за его сходства с замешиванием теста: тесто разрезают пополам, а две половины укладывают друг на друга и сжимают.

Рис. 25. Модель эволюции системы в отображении пекаря.

Преобразование пекаря – простая модель, включающая все особенности хаоса. В рамках эргодической теории оно предложно Э. Хопфом

http://profbeckman.narod.ru/

в 1937 году. Это отображение определяют геометрически (как отображение подкова и отображение кот Арнольда). В отличие от других простых хаотических моделей гамильтоновых систем (т.е. систем, сохраняющих фазовый объём при итерациях, все классические структуры отображения пекаря могут быть описаны аналитически. Квантовая версия отображения пекаря позволяет установить связь классической механики с квантовой механиками в полуклассическом пределе, где динамика хаотична (квантовый хаос). Относительная простота классического описания, обеспечиваемая символической динамикой, и гибкая схема квантования, позволяют провести аналитические решения проблем квазиклассического описания хаотических систем, таких как коммутативность квантование с распространённым временем и сравнить классические и квантовые инвариантные структуры. Эта схема является достаточно общей: она применима к большинству кусочно-линейных отображений, в том числе – к недиссипативному отображению подкова.

Подкова Смейла – предложенный Стивом Смейлом (1958) при изучении поведения орбит осциллятора Ван дер Поля пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы. Действие отображения определяется геометрически: квадрат скручивается, затем растягивается в длинную полосу и

складыванием её в форму подковы.

Рис. 26. Преобразование подкова.

Отображение пекаря есть двусторонний оператор сдвига (некий аналог сдвига Бернулли). Отображение пекаря топологически сопряжено с

отображением подкова. Цепочка связанных карт пекаря используется для моделирования детерминированной диффузии. Как и во многих детерминированных динамических системах, отображение пекаря исследуется по его действию на пространство функций, определенных на единичном квадрате. Оператор пекаря определяет оператор на пространстве функций, известный как оператор переноса отображения. Отображение пекаря – точно решаемая модель детерминированного хаоса, так как собственные

функции и собственные значения оператора переноса явно определены.

Рис. 27. Варианты отображения подкова.

Сложенное отображение пекаря представляет собой двумерный аналог отображения тент

Отображение пекаря топологически сопряжено с отображением Бернулли. В отличие от отображения тент, отображение пекаря обратимо; оно сохраняет двумерную меру Лебега. Отображение сильно топологически перемешено. Отображение пекаря можно понимать как операцию двустороннего сдвига по символической динамике одномерной решётки.

Рис. 28. Различные типы подковы с соответствующими инверсиями.

Преобразование отображает точки единичного квадрата на единичный квадрат с сохранением меры. Сожмём квадрат по оси у вдвое, а по оси х растянем его вдвое. Разрежем образовавшийся прямоугольник на две равные части вдоль оси у (отметим одну половину чёрным цветом, другую – белым) и положим правую часть под левой. Получится снова квадрат, с которым

надо повторить указанные операции и т.д. При большом числе итераций это распределение принимает вид набора тонких и длинных чередующихся тёмных и светлых полосок. При многократном повторении процедуры в конце концов получаем кусок теста, который выглядит однородным. Взяв для пробы небольшой кусочек, мы обнаружим в нём присутствующие в равных долях темную и светлую составляющие. Основное процесс, задействованный при эволюции отображения пекаря, называется перемешиванием.

Преобразование пекаря обладает свойствами перемешивания и локальной неустойчивости. Если выбрать координаты некоторой точки в квадрате, как начальные и рассмотреть траекторию этой точки, т.е. последовательность её отображений, то координаты точек, порождаемых преобразованием пекаря, образуют последовательность случайных чисел.