http://profbeckman.narod.ru/

уравнений, по-прежнему являются инвариантными множествами, т. е. последовательности множеств, начинающихся на этих множествах, остаются на множествах. Однако в отличие от непрерывного времени инвариантные непрерывные прямые не являются фазовыми траекториями решений. Стабильные, неустойчивые и центральные собственные области определяются способом, аналогичным используемому для систем непрерывного времени, с очевидной разницей в том, что дискриминирующим фактором для систем с дискретным временем является то, являются ли модули соответствующих собственных значений соответственно меньшими, большими или равными единице.

Рис. 26. Система с дискретным временем в трёхмерном пространстве.

11.4 Многопараметрические отображения

До сих пор мы рассматривали отображения, характеризуемые одним управляющим параметром. В реальности, однако, часто встречаются ситуации, в которых система характеризуется не одним, а несколькими параметрами. Если система включает два параметра, то для её описания в простом варианте используются следующие отображения:

экстремумом к отображению с двумя экстремумами. Простейшей функцией является кубическая парабола, для которой

Вследствие этого резко возрастает (по сравнению с квадратичным) количество возможных типов циклов. Как уже упоминалось, если цикл опирается на экстремум отображения, то его мультипликатор равен нулю и цикл является сверхустойчивым. Опирающийся на два экстремума цикл характеризуется двойной сверхустойчивостью: слегка «пошевелив» параметры, мы сможем наблюдать сверхустойчивые циклы, опирающиеся только на максимум либо только на минимум. Таким образом, от точки, соответствующей циклу двойной сверхустойчивости, на плоскости параметров должны отходить две линии, соответствующие «простым» сверхустойчивым циклам. Двигаясь вдоль них, можно вновь добиться ситуации, когда цикл (уже более высокого периода, после пересечения с линией бифукации удвоения периода) опирается на оба экстремума.

В общем виде двумерное отображение задаётся соотношениями

Здесь f(xn,yn), yn+1=g(xn,yn) - некоторые (обычно гладкие) функции.

Динамика двумерных отображений происходит на фазовой плоскости двух переменных (x,y). За счёт появления второго измерения она может быть более разнообразной, чем в случае одномерных отображений. В частности, наряду с неподвижными точками, циклами и хаосом, возможны квазипериодические режимы.

Неподвижной точкой двумерного отображения называют такую точку, которая переходит сама в себя при его однократной итерации. Соответственно, она является

http://profbeckman.narod.ru/

Мультипликаторы неподвижной точки двумерного отображения могут быть либо действительными, либо косвенными. Это новый момент, связанный с существованием двух измерений. Неподвижной точки двумерного отображения: она устойчива, если оба мультипликатора лежат в диапазоне от -1 до +1, и неустойчива вне этого диапазона. Нетрудно также понять, как будет выглядеть динамика вблизи неподвижной точки. В ходе итераций в ее окрестности изображающая точка будет совершать «прыжки» по плоскости, характер которых зависит от величины и знака мультипликатора. Анализ устойчивости неподвижных точек двумерных отображений легко переносится на циклы. Для отображения в общем виде элементы 2-цикла определяются из соотношений:

Оно может иметь неподвижную точку (x0,y0,z0), одна итерация которой приводит в ту же точку, т.е.

Возможны модели с большим числом управляющих параметров. Для математического моделирования таких динамических процессов используется понятие коразмерности.

Коразмерность – количество параметров, необходимых для реализации бифуркации. В точке бифуркации коразмерности k выполняется k бифуркационных условий (условий типа равенств) и ряд условий невырожденности – условий типа неравенств.

11.5 Примеры некоторых важные отображений

Приведём примеры некоторых отображений.

Отображение Пуанкаре.

Важным инструментом исследования динамических систем является отображение Пуанкаре, которое устанавливает связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображения – с другой. А. Пуанкаре предложил процедуру, которая сопоставляет динамике в рамках дифференциальных уравнений некоторое отображение. Она позволяет заменить потоковую систему n-го порядка на отображение (n-1)-го порядка с дискретным временем, называемое отображением Пуанкаре. Определение отображения Пуанкаре гарантирует, что его предельные множества соответствуют предельным множествам указанной потоковой системы.

Полезность отображений Пуанкаре состоит в понижении порядка системы и в том факте, что они служат мостом между системами с непрерывным и дискретным временем. Метод сечения Пуанкаре – основной метод анализа гамильтоновой динамики, поскольку он позволяет выявить скрытые интегралы движения. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические,

квазипериодические и хаотические.

Отображение Пуанкаре (отображение первого возвращения) – проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 27. Отображение Пуанкаре трансверсальной площадки на себя определяется точкой первого возвращения траектории на площадку.

В теории динамических систем отображение Пуанкаре представляет собой пересечение периодической орбиты в пространстве состояний непрерывной динамической системы с некоторым подпространством меньшего размера (сечение Пуанкаре, расположенное трансверсально к потоку в системе). Из некоторой точки сечения Пуанкаре выходит траектория системы (периодическая орбита), которая затем покидает систему, но затем снова пронизывает плоскость Пуанкаре. Фиксируются координаты точки возвращения фазовой кривой в сечение. Затем устанавливается соответствие точки возникновения орбиты к точке первого возвращения (отображение первого возвращения). Если траектория, выпущенная из некоторой точки сечения, никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.

Замечание. Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся на подпространстве, протекают через него и не параллельны ему.

Отображение (карту) Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему с пространством состояний на один размер меньше, чем у исходной непрерывной динамической системы. Поскольку оно сохраняет много свойств периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство с более низкой размерностью, оно часто используется для более простого анализа исходной

системы. На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения отображения Пуанкаре.

Рис. 28. Построение отображения Пуанкаре в фазовом пространстве автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

Неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы. Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений — с другой.

Рис. 29. Качественно разные траектории отличаются сечениями Пуанкаре: а – хаотическое движение; б – движение к неподвижной точке; в – цикл;, г – цикл удвоенного периода.

Определённую качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. Например, с помощью сечения Пуанкаре можно получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующей системы. Отображения

Пуанкаре помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например, периодические, квазипериодические и хаотические.

Согласно подходу Пуанкаре в фазовом пространстве строится некоторая поверхность, и

http://profbeckman.narod.ru/

изучается поведение точек пересечения фазовой траектории и секущей. На рис. 28 показано сечение Пуанкаре четырехоборотного предельного цикла. Можно видеть, что в таком сечении изображающая точка будет последовательно занимать положения, отмеченные цифрами 1, 2, 3 и 4. Таким образом, в терминах отображений можно сказать, что реализуется цикл периода 4. Понятно, что те или иные перестройки предельного цикла будут приводить и к перестройкам в сечении Пуанкаре. Последнее изучать гораздо проще, что и определяет важность этого метода. При анализе конкретных систем сечение Пуанкаре строится при помощи компьютера.

Рис. 30. Притягивающий предельный цикл и отображение Пуанкаре на трансверсали к нему.

Предельный цикл – это один из возможных вариантов стационарного состояния системы. Предельный цикл векторного поля на фазовой плоскости – замкнутая (периодическая)

траектория этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.

Рис. 31. Схематическая иллюстрация временной эволюции точек Пуанкаре из выборки цифровых измерений.

Теоремы Пуанкаре-Бендиксона и АндроноваПонтрягина утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости, состояние которой задаётся двумя вещественными параметрами, например, напряжением и током, или положением и скоростью точки на прямой, может стремиться только к положению равновесия или к

предельному циклу.

Рис. 32. а – Отображение Пуанкаре на фазовой плоскости, соответствующее субгармоническому движению с периодом 3 произвольно изогнутого стрежня, возбуждаемого периодическим сигналом; б – хаотическое движение вблизи третьей субгармоники.

Предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково – цикл называется отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание – говорят о полуустойчивом цикле. Поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на отрезке,

трансверсальном к циклу, – для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Так, цикл является притягивающим или отталкивающим тогда и только тогда, когда эта точка соответственно притягивающая или отталкивающая. Цикл называется гиперболическим, если соответствующая неподвижная точка гиперболична – то есть, имеет производную, отличную от +1. В этом случае, если производная по модулю больше 1, цикл неустойчив, если меньше – устойчив. Гиперболические предельные циклы не разрушаются малыми.

http://profbeckman.narod.ru/

Наиболее простой бифуркацией, связанной с предельными циклами, является седлоузловая бифуркация: два гиперболических предельных цикла, отталкивающий и притягивающий, сближаются. В момент бифуркации они сливаются, образуя один полуустойчивый цикл, который при дальнейшем изменении параметра исчезает.

При непрерывной эволюции периодические движения соответствуют точкам покоя разностных уравнений, полученных с помощью сечения Пуанкаре. Объекты, наиболее часто используемые при изучении перехода от периодического движения к хаотическому,

– это простые одномерные и двумерные отображения.

Рис. 33. Отображение Пуанкаре на фазовой плоскости, соответствующее квазипериодическому движению возбуждаемого периодическим сигналом стержня с двумя степенями свободы, который колеблется в паре потенциальных ям, создаваемых

магнитными силами.

При математическом моделировании динамических систем отображение

x(t), x(t) . Если движение хаотично, то траектория стремится заполнить некоторую область фазового пространства. Если, однако, вместо того, чтобы непрерывно следить за движением, мы будем фиксировать динамические характеристики только в отдельные моменты, то движение

xn+1=f(xn,yn), yn+1=g(xn,yn)

Рис. 34. а – Отображение Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при слабом затухании; б, в – отображения Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при более сильном затухании обнаруживают фрактальную структуру аттрактора.

Если моменты выборки tn подчиняются определенному правилу, обсуждаемому ниже, это отображение называется отображением Пуанкаре.

Отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями. Когда присутствует вынуждающее движение с периодом Т, для получения отображения Пуанкаре естественно выделить выборку с tn=nT+ 0. Это позволяет отличить периодические движения от непериодических.

Еще одно нехаотическое отображение Пуанкаре показано на рис. 33, где движение представляет собой колебания на двух несоизмеримых

http://profbeckman.narod.ru/

где 1/ 2 – иррациональное число. Если делать выборку с периодом, соответствующим одной из частот, то траектория станет непрерывной замкнутой фигурой или орбитой на фазовой плоскости. Такое движение иногда называют почти периодическим, или квазипериодическим, или «движением на торе»; оно не хаотично.

И наконец, если отображение Пуанкаре не состоит ни из конечного множества точек (рис. 32а), ни из замкнутой орбиты (рис. 33), то соответствующее движение может быть хаотичным (рис. 34). На этом этапе следует провести грань между системами с затуханием и без него. В системах без затухания или со слабым затуханием отображения Пуанкаре хаотических движений часто имеют вид неупорядоченного скопления точек на фазовой плоскости.

Такие движения иногда называют стохастическими. В системах с затуханием отображения Пуанкаре иногда представляют собой бесконечные строго упорядоченные множества точек, концентрирующихся на подобии параллельных линий (рис. 34б,в). При численном моделировании можно увеличить часть отображения Пуанкаре (рис.35) и обнаружить более тонкую структуру. Если такая структура множества точек сохраняется

после нескольких увеличений, то говорят, что движение ведет себя как странный аттрактор. Множества с подобным вложением одной структуры в другую часто называют канторовскими множествами.

Рис. 35. Отображение Пуанкаре для хаотических колебаний возбуждаемого нелинейного осциллятора, сохраняющее автомодельную структуру все меньших и меньших масштабов.

Появление в отображении Пуанкаре, отображающем временную эволюцию колебаний, структур, которые подобны канторовскому множеству, является сильным индикатором хаотических движений.

Отображения Пуанкаре для автономных систем. Стационарные колебания могут возбуждаться без периодических или случайных воздействий также и в том случае, если движение порождается динамической неустойчивостью, как, например, индуцированные ветровым

потоком колебания упругой структуры или создаваемое градиентом температуры конвективное движение жидкости или газа (например, конвекция Бенара). В электрических системах или системах управления с обратной связью самовозбуждающиеся колебания могут возникать благодаря элементам с отрицательным сопротивлением или отрицательной обратной связи. Тогда возникает вопрос о том, в какие моменты времени следует проводить измерения, чтобы получить отображение Пуанкаре. Обсуждение этого вопроса мы проведем на несколько более абстрактном языке.

Табл. 1. Классификация отображений Пуанкаре

Конечный набор точек: периодическое и субгармоническое колебание Замкнутая кривая: квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот

Незамкнутая кривая: имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображением, строить x(t) как функцию x(t+T)

Фрактальный набор точек: странный аттрактор в трёхмерном фазовом пространстве

Бесформенный набор точек:

1)динамическая система со слишком сильным сигналом или шумом на входе;

2)странный аттрактор, но диссипация в системе очень слаба – для проверки используют показатель Ляпунова;

3)странный аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями – следует применить множественное отображение Пуанкаре;

Эту систему можно привести к автономному виду, вводя определение z= t+ 0+2n , что даёт

x y,

Теперь можно естественным образом выбрать те моменты выборки, при которых z = 0. У этой системы фазовое пространство имеет цилиндрическую форму с ограниченными значениями z: 0 z 2 . Построение отображения Пуанкаре показано на рис. 37.

Динамические модели можно свести к одномерным отображениям. Простые одномерные отображения или разностные уравнения вида xn+1 могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция f(x) имеет хотя бы один максимум (или минимум),

пример – логистическое отображение (см. далее).

Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных p-n–переходах); и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями (эффекты удвоения периода особенно важны в теории бифуркаций и будут в дальнейшем рассмотрены более подробно).

Рис. 37. Схема странного аттрактора для вынужденных колебаний нелинейного осциллятора

— «произведение» плоскости Пуанкаре и фазы возбуждающего сигнала.

Возможность удвоения периода характерна для систем с существенным затуханием. Для проверки такой возможности проводят выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, например xn=x(t+tn). Затем можно построить зависимость каждого xn от последующего значения xn+1. Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами xn+1 и xn должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость; во-вторых, эта функция f(x) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то подбирают полиномиальную аппроксимацию полученных точек и используют найденное отображение для дальнейших численных экспериментов, подобного анализу квадратичного отображения (см. далее).

Как уже упоминалось, отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему. Устойчивость периодической орбиты исходной

http://profbeckman.narod.ru/

системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре. Можно показать, что периодическая орбита непрерывной динамической системы устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка дискретной динамической системы устойчива. Периодическая орбита непрерывной динамической системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка дискретной динамической системы асимптотически устойчива.

Квадратичное отображение - простое отображение, обладающее нетривиальной и богатой динамикой

где параметр с – вещественное или комплексное число.

Замечание. В комплексной плоскости квадратичное отображение fc(z)=z2+c имеет две критические точки 0 и (последняя - неподвижная и суперпритягивающая).

При изменения параметра с устойчивые периодические орбиты отображения испытывают подобные каскады бифуркаций (например, каскад бифуркаций удвоения периода, что проявляется, например, в самоподобии множества Мандельброта). Более того, и другие гладкие отображения могут испытывать подобные каскады бифуркаций. Точки в которых производная f'(xc)=0 называются критическими точками. Для аналитического отображения известно, что каждый устойчивый цикл обязательно притягивает к себе критическую точку. Т.к. у квадратичного отображения есть единственная критическая точка xc=0, то у него может существовать только один притягивающий цикл и начинать его поиски следует из точки xc=0.

Применим к анализу фазовых траекторий, генерируемых уравнениями типа Ур.1, метод итераций. Напомним, что в процессе итераций выход функции становится входом в

следующую итерацию. Итерации обычно записывают в виде Fn, где F – оцениваемая функция, а n – количество итераций. Например, в случае F(x)=x2-1 итерация F(2)(x)=(x2-1)-

1 и т.д. В качестве отправной точки при итерации функции F используется число (действительное или комплексное) х0. Вычислив F(x0), получим новое число x1, которое используется для следующей итерации. Этот выход задаёт новый вход, и действуя как и раньше, найдём F(x1) и х2. В результате получим последовательность точек х0, х1, х2,..., хn. Последовательность чисел, являющаяся результатом итерации функции F, называется фазовой траекторией (орбитой) x0 под F, где число x0 задаёт начало орбиты.

Приведём пример орбиты точки 0,1 функции F(x)=2x(1-x)

х0=0,1 х1=0,1 х3=0,18 х4=0,2952

х5=0,41611392 х6=0,48592625116 х7=0,49960385919 х8=0,49999968614

и т.д.

Как следует из приведённого примера, орбита может обладать определенной характеристикой. Если точка x0 удовлетворяет уравнению F(x0)=x0 или в общем виде Fn(x0)=x0, где F – функция, то x0 представляет собой неподвижную точку.

Теорема с фиксированной точкой: Если F(x) – непрерывная функция и F(x) [a,b] для всех x [a, b], то F имеет по крайней мере одну неподвижную точку в [a, b].

Орбита неподвижной точки является постоянной последовательностью x0, x0, x0,..., x0. К сожалению, общего метода нахождения неподвижной точки. Приходится каждый раз находить конкретное решение уравнения F(x)=x. Например, F(x)=2x(1-x) имеет неподвижные точки при х=0 и 0,5.

Фиксированная точка может быть аттрактором, репеллером или нейтральной. Пусть x0 – неподвижная точка функции F, то

1. x0 – притягивающая неподвижная точка F, если |F'(x0)|<1

http://profbeckman.narod.ru/

2.x0 – отталкивающая неподвижная точка F, если |F'(x0)|>1

3.x0 – нейтральная неподвижная точка F, если |F(x0)|=1

Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки иногда называют стоками и источниками, соответственно. Нейтральные неподвижные точки, могут вести себя по-разному. Они могут слабо привлекать, слабо отталкивать или ни привлекать и ни отталкивать.

Теорема. Если x0 – притягивающая неподвижная точка для дифференцируемой функции F, то существует ε>0 такое, что x (x0- ε, x0+ε) удовлетворяет следующему условию

1.fn(x) (x0-ε, x0+ε) для всех n>0

2.Когда n приближается к бесконечности, fn(x) приближается к x0 для всех x (x0- ε, x0+ε)

Теорема. Пусть x0 – отталкивающая неподвижная точка дифференцируемой функции F.

Тогда существует ε>0, такое что если x (x0- ε, x0+ ε) и x0 x, то существует n>0, такое что

fn(x) (x0- ε, x0+ε).

Точка x0 функции F периодична, если существует n так, что x0 является фиксированной точкой Fn(x) (выполняется Fn(x0)=x0). Цикл периода n является орбитой, которая повторяет себя каждые n итераций.

Например, 0 лежит на цикле периода 2 для x2-1, так как его орбита равна 0, -1,0, -1,

.... Кроме того, период-2 цикла имеет две точки, x0 и x1 такие, что F(x0)=x1 и F(x1)=x0. В общем случае n-цикл имеет форму x0, x1, x2,..., xn-1, x0, x1, ... Чтобы определить, является ли точка периода притягивающей, отталкивающей или нейтральной, используют производную Fn(x0). В случае двух дифференцируемых функций F и G

(F◦G)'(x)=F'(G(x)) G'(x)

(F2)'(x0)=F'(F(x1)) F'(x0)=F'(x1) F'(x0)

( F3)'(x0)=F'(F2(x0))(F2)'(x0)=F'(x2) F'(x1) F'(x0)

Итак, (Fn)i=F'(xn-1)...F'(x0), где x0, ..., xn-1 лежат на цикле периода n для F и xi=Fi(x). Производная Fn при x0 – произведение производной для F во всех точках орбиты. Это означает, что не нужно знать уравнение для Fn, раз известны точки на орбите.

За динамикой одномерного вещественного отображения удобно следить по итерационной диаграмме (рис. 38).

Рис. 38. Итерационная диаграмма квадратической функции. Синяя кривая это n-ая итерация отображение fn(x)=f(f(...f(x))). Зеленая линяя y=x. Координаты изменяются в пределах -2≤x,y≤2. Т.к. f(0)=C, то при n=1 значение C совпадает с y(0). Зависимость xn от n строится в правом окне (итерации

начинаются с xo). Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию из начальной точки xo=0 к синей линии y=f(x)=x2+c, где yo=f(xo). Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию к зеленой диагонали y = x, где x1=yo=f(xo). Далее снова строим вертикальную линию к синей кривой, чтобы получить y1=f(x1) и т.д. Точки fc: xo→x1→ x2→ ... при некотором значении c образуют орбиту точки xo.

Отметим, что рассмотренные здесь алгоритмы играют важную роль в теории динамических систем, поскольку лежит в основе использования квадратических отображений в моделировании универсальности Фейгенбауэра и логистических бифуркаций, приводящих к детерминированному хаосу (см. далее).

Тригонометрическое уравнение Кеплера u=m+sinu где , m – постоянные,

возникает при изучении движения планет, причём ||<1|, задаёт эксцентриситет эллиптической планетарной орбиты, m – её среднее отклонение. Решение описывает

http://profbeckman.narod.ru/

эллиптическое движение планеты. Неподвижные точки дискретной динамической системы основаны на функции g(u)=m+ sinu. Так как

|g'(u)|=| cosu|=| |<1, (38)

то неподвижная точка остается неизменной. Условие (38) достаточно, чтобы доказать существование единственной устойчивой неподвижной точки. В частном случае m= =0,5

достаточно близко сходится к неподвижной точке u0= 0.887862.