Упражнения

1. Найти функции формы N_i = _i (i=1, 2, 3, 4) для тетраэдрального элемента Лагранжа 1-го порядка, используя преобразование

^{x =} ^Xii, ^{y =} ^Yii, ^{z =} ^Zii, ^{1 =} ^i.

Показать, что внутри тетраэдра 0    1.

2. Найти квадратичные функции формы для одномерного элемента Лагранжа [x₁,x₂]. Указание. Использовать аппроксимацию неизвестной функции =C₁²+ C₂+C₃ , где =(x–x₁)/(x₂–x₁) – симплексная координата, {С_i} – коэффициенты, подлежащие определению. Записав это выражение для каждого из трех узлов (=0; 0.5; 1), получим систему уравнений относительно {С_i}. Решив ее, найдем разложение  = __i N_i().

3. Определить квадратичные функции формы для стандартного треугольного элемента Лагранжа (см. рис.1). См. указание к упр. 2; рассмотреть аппроксимацию =C₁₁²+ C₂₂²+ C₃₁₂+ C₄₁+ C₅₂+С₆ для точек (0,1), (0,0), (1,0), (0,0.5), (0.5,0), (0.5,0.5).

4. Определить функции формы для билинейного прямоугольного элемента –11, –11. См. указание к упр. 2; рассмотреть аппроксимацию =C₁ + C₂ + C₃ + C₄ для точек (–1,–1), (–1,1), (1,–1), (1,1).

5. Показать, что функции формы должны удовлетворять условию N_i = 1.

6. Записать выражение для grad для линейного и квадратичного треугольника Лагранжа. Найти скачок градиента на границах элементов.

7. Показать, что полный функционал для ансамбля конечных элементов не равен сумме элементных функционалов, если для аппроксимации неизвестной функции используются базисные функции класса С⁰. Какую ошибку при этом имеет конечно-элементное решение?

8. Для уравнения Лапласа =0 получить матрицу и вектор правых частей локальной системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей квадратичному одномерному элементу, билинейному четырехугольнику и тетраэдральному элементу Лагранжа.

2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Теоретические сведения. Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции  = (x). Их можно записать в виде

,

где x – независимая переменная.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных C₁, C₂, ... , C_n, т. е. имеет вид

 = (x, C₁, C₂, ... , C_n).

Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения. В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка x = x₀, в которой они задаются, – начальной точкой. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x = a и x = b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

МКЭ обычно используется для решения краевых задач. Задачи Коши чаще всего решаются методами Эйлера, Рунге–Кутта, Адамса, прогноза-коррекции и т. д.

Пример. Рассмотреть конечно-элементную формулировку для уравнения

при условии, что  = 0 при x = 0 и _/x = 0 при x = L_x.

Покажем, что стационарное значение функционала

определяет решение данной краевой задачи, если пробные функции удовлетворяют краевому условию  = 0 при x = 0.

Найдем первую вариацию F:

.

Для первого слагаемого используем интегрирование по частям

.

Поскольку множество допустимых функций удовлетворяет краевому условию при x = 0, то _x=0 =  +_x=0 = 0, первое слагаемое равно нулю.

Из условия стационарности F = 0 и в силу произвольности  имеем:

.

Краевое условие при x=L_x выполняет роль естественного краевого условия, так как оно выполняется для любой функции , обеспечивающей стационарное значение функционала. Краевое условие при x=0 – главное условие.

Рис. 2.3.

Следуя методу конечных элементов, разобьем отрезок [0,L_x] на M одномерных элементов (рис. 3). На каждом элементе будем использовать линейную аппроксимацию. В таком элементе неизвестная функция определяется ее значениями в двух узлах x₁ и x₂ :

(x) = ₁N₁ + ₂N₂ , (2.36)

где функции формы N₁, N₂ имеют вид

.

Подставляя аппроксимацию (2.36) в функционал F() и удовлетворяя условию стационарности F_/_i = 0, приходим к системе линейных алгебраических уравнений

S₁₁₁ + S₁₂₂ = F₁,

S₂₁₁ + S₂₂₂ = F_2,

где

.

Здесь h_e  x₂ – x₁.

Аналогичным образом строятся системы уравнений для всех элементов, а затем добавляются в глобальную систему способом, описанным в разд. 3. Чтобы окончательно сформировать систему, необходимо учесть главное граничное условие при x = 0 (см. там же).