1.3 Компьютерные системы конечно-элементного анализа

Общую разработку и компьютерное моделирование электромагнитных подвесов различного целевого назначения целесообразно проводить с помощью CAD-CAM-CAE систем машиностроительного профиля таких, как Pro/Engineer [101], CATIA [102] и NX-Unigraphics [103] осуществляющих компьютерную поддержку полного цикла разработки и производства изделия. Это интегрированные системы с интуитивно понятным пользовательским интерфейсом, встроенным макроязыком и библиотеками функций, с возможностью подключения внешних модулей, расширяющих их функциональные возможности. Трёхмерное моделирование происходит на уровне твёрдотельных моделей с использованием мощных конструкторско-технологических библиотек, средств визуализации и анимации результатов инженерного анализа. Этот анализ осуществляется собственными конечно-элементными модулями или через прямой интерфейс с универсальными CAE-системами ANSYS [94], NISA [95], COSMOS/M [96] и др. (см. обзоры [107, 108]). Следует отметить, что эти системы основываются на стандартных физико-математических моделях электромагнетизма, теплогазогидродинамики и механики сплошной среды. Поэтому для моделирования СЭМП, требуется разработка дополнительных модулей к ним, учитывающих специфику электродинамики сверхпроводников. Для этой цели перспективно использовать наиболее мощную систему конечно-элементного мультифизического анализа COMSOL Multiphysics [109], конечно-элементный комплекс программ FlexPDE [110] и конечно-элементную библиотеку программ DIFFPACK [111]. Разработку узкоспециализированных дополнительных модулей к CAD-CAM-CAE системам можно осуществлять и на основе свободно распространяемых открытых конечно-элементных пакетов программ FreeFEM [112], Elmer [113], FempdeSolver [114-119] и др.(см. обзор [120]) с использованием возможностей универсальных систем компьютерной математики MAPLE [121], MATHEMATICA [122], MATLAB [123], MAXIMA [124] и SCILAB [125].

Ядро базового модуля системы COMSOL Multiphysics образуют программы реализующие алгоритмы конечно-элементной дискретизации и численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) в многомерных (1D, 2D и 3D) и многосвязных областях сложной формы [126]. Эти уравнения могут быть записаны в коэффициентной, обобщенной и слабой (проекционной) формах, а также в виде их комбинаций. Слабая форма, несмотря на название, является наиболее общей и позволяет учитывать различные дополнительные условия при построении математической модели. Так, например, в подынтегральные выражения разрешается добавлять члены, содержащие смешанные пространственно-временные производные, а для учёта поверхностных, криволинейных, точечных источников поля и моделирования полей с неподвижными разрывами в форму можно вводить дополнительные поверхностные, криволинейные и точечные интегралы.

В результате конечно-элементной дискретизации система ДУЧП заменяется системой алгебраических уравнений большой размерности, которая численно решается прямыми или итерационными методами. При использовании распараллеливания вычислительного процесса на кластерах и эффективных решателей COMSOL Multiphysics может решать задачи с десятками миллионов неизвестных.

При решении задач физического характера в рамках базового модуля можно использывать два подхода: математический и физико-математический.

В первом случае необходимо самостоятельно выбрать форму записи и тип решаемой задачи из списка:

• стационарная;

• нестационарная;

• на собственные значения.

Затем, задать коэффициенты в уравнениях, граничные, начальные и другие дополнительные условия.

Кроме этого, отдельно представлены наиболее часто встречающиеся уравнения математической физики: Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, теплопроводности, волновое, Шредингера, конвекции-диффузии.

При физико-математическом подходе предлагаются проблемно-ориентированные интерфейсы для решения краевых задач из следующих разделов физики:

– акустика (2D, 3D);

– электростатика (2D, 3D) и магнитостатика (2D);

– электрическое поле постоянного тока в проводящей среде (2D, 3D);

– квазистационарное электромагнитное поле (2D);

– конвекция и диффузия (1D, 2D, 3D);

– распространение тепла (1D, 2D, 3D);

– динамика несжимаемой жидкости (2D, 3D);

– механика деформируемых тел (2D, 3D).

Большим достоинством COMSOL Multiphysics является возможность произвольно сочетать любое количество нелинейных физических процессов. При этом задачи из различных областей решаются одновременно в одной модели, а не последовательно, что ведет к ускорению процесса моделирования и, что более важно, улучшает сходимость. Однако это приводит к существенному увеличению числа степеней свободы (несколько миллионов и более) дискретной конечно-элементной модели исследуемого явления и к необходимости использования компьютерных кластеров (поддерживается в последних версиях COMSOL Multiphysics).

К базовому модулю COMSOL Multiphysics могут подключаться специализированные модули, ориентированные на решение задач в конкретных областях физики и техники обладающие дополнительными функциональными возможностями, требующимися для решения таких задач. Число таких модулей постоянно увеличивается. Так, последняя на данный момент версия 4.4 (ноябрь 2013 г.) содержит 32 модуля для решения задач в различных областях (акустика, гидродинамика, строительная механика, электромагнетизм и высокочастотная электродинамика, химические технологии и электрохимия, теплотехника, микроэлектромеханика, геомеханика, физика плазмы, и т.д.).

К COMSOL Multiphysics могут также подключаться: оптимизационный модуль; библиотека характеристик материалов; модуль интеграции с системой MATLAB, существенно расширяющий возможности моделирования; модули импорта геометрических данных в форматах IGES, STEP, SATA и CATIA R.V5; модули обеспечивающие двухсторонний интерфейс с популярными CAD-CAM-CAE системами (AutoCAD, Autodesk Inventor, Pro/ENGINEER, SpaceClaim, SolidWorks).

В состав базового модуля также входят достаточно мощный геометрический моделер, многофункциональный конечно-элементный (треугольники, четырёхугольники, тетраэдры, призмы, гексаэдры) разбивщик, средства обработки и визуализации данных. Все программы связанны воедино удобным графическим интерфейсом пользователя. Допускается также скриптовое программирование на языках Java или MATLAB

Программный комплекс FlexPDE не имеет какого-либо предопределенного набора задач или списка уравнений, выбор ДУЧП полностью лежит на пользователе. Исходные данные задачи записываются в виде скрипт-файла. Его основные возможности [110]:

• Решаются двумерные (плоские и осесимметричные) и трехмерные задачи для систем ДУЧП 1 и 2 порядка.

• Задача может быть стационарной, нестационарной или на собственные значения.

• Может решаться любое число совместных уравнений, при условии, что это позволяют мощности компьютера.

• Уравнения могут быть линейными и нелинейными. Нелинейные системы решаются итерационно с помощью модифицированного метода Ньютона-Рафсона.

• Может быть задано любое число подобластей с различными свойствами материалов.

FlexPDE – это полностью интегрированный решатель ДУЧП, в который входят несколько модулей, обеспечивающих все стадии решения:

• Модуль редактирования скрипт-файлов, обеспечивающий предварительный просмотр расчетной области в графическом виде.

• Символический анализатор уравнений, раскрывающий заданные параметры и соотношения, выполняющий дифференцирование по пространственным переменным и применяющий интегрирование по частям для преобразования членов второго порядка с целью получения уравнений Галеркина. Затем они приводятся к матричной форме.

• Модуль генерации сетки, строящий треугольную конечно-элементную сетку в произвольных двумерных областях. В трехмерных областях двумерная сетка на поверхности области выдавливается внутрь, образуя тетраэдральную сетку из произвольного количества слоев в направлении экструзии.

• Модуль конечно-элементного численного анализа, выбирающий подходящую схему решения для стационарных, нестационарных уравнений и задач на собственные значения, с отдельными процедурами для линейных и нелинейных систем. Конечные элементы могут быть квадратичными либо кубическими.

• Процедура оценки погрешности, проверяющая адекватность сетки и измельчающая сетку, если ошибка слишком велика. Система последовательно улучшает сетку и находит решение на ней до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

• Модуль графического вывода и обработки результатов допускает задание произвольных алгебраических функций, зависящих от решения, и построение контуров, поверхностей, матриц стрелок, вертикальных проекций, а также вычисление интегральных и дифференциальных характеристик.

Модуль экспорта данных, выдающий текстовые отчеты во многих форматах (простые таблицы, полные конечно-элементные сеточные данные и др.).

Diffpack представляет собой объектно-ориентированную программную среду, предназначенную для численного решения систем ДУЧП методами конечных элементов, конечных разностей и конечных объёмов [111]. Она состоит из набора C++ библиотек с классами, функциями и утилитами обеспечивающими создание программы для решения конкретной системы ДУЧП с высокой эффективностью. Библиотеки Diffpack включают ядро и дополнительные инструменты. Они содержат большой набор структур данных и численных алгоритмов, таких как векторы, матрицы, общие многоиндексные массивы и строки и операции над ними, графический интерфейс пользователя, представления систем линейных алгебраических уравнений, большое число прямых и итерационных решателей систем алгебраических уравнений, конечно-элементные и конечно-разностные сетки, адаптивные сетки, многосеточные методы, скалярные и векторные поля над сетками, различные конечно-элементные алгоритмы и соответствующие структуры данных, схемы численного интегрирования, методы декомпозиции областей, обобщенный метод конечных элементов, параллельные вычисления и многое другое необходимое для создания программы решения системы ДУЧП в многомерной (1D, 2D, 3D) области сложной формы с заданными граничными условиями и анализа полученного решения. Diffpack содержит большое количество примеров кода для решения задач из различных областей науки и техники.

FreeFem++ [112] – пакет программных продуктов для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных для двумерных и трехмерных случаев. Также как и в FlexPDE исходные данные задачи записываются в виде скрипт-файла. Основные особенности пакета:

– обрабатываются множественные сетки в одной программе;

– имеется мощный интерполятор с одной сетки на другую;

– имеется устойчивый модуль адаптации сетки;

– решаются системы ДУЧП, записанные в слабой форме.

Имеется графический интерфейс и возможность задавать различные типы конечных элементов. К особенностям FreeFem++ можно также отнести аналитический способ задания граничных условий, усовершенствованный алгоритм адаптации конечно-элементной сети, различные типы решателей (Cholesky, Crout, CG, GMRES, UMFPACK), возможность параллельных вычислений с использованием MPI (Message Parsing Interface).

Elmer [113] – программное обеспечение для решения задач в области теплопроводности, электромагнетизма, механики и акустики. Помимо разного типа решателей в его состав входит модуль генерации двух и трехмерной конечно-элементной сети. Он осуществляет импорт файлов сторонних геометрических моделеров и генераторов конечно-элементной сети, таких как ANSYS и COMSOL Multiphysics, готовит конечно-элементную сеть для распараллеливания дальнейших вычислений через интерфейс MPI. Поддерживается большое количество типов конечных элементов, как для двумерных, так и для трехмерных моделей.

Пакет программ FEMPDESolver написан на языке С++ и реализован в виде двух консольных Windows-приложений (пре/пост­процессорной оболочки и решателя) [114-119].

Основные возможности пакета:

– решение скалярных ДУЧП, включающих вторые производные по пространственным координатам и первую или вторую производную по времени, в двух- и трехмерных областях произвольной формы;

– возможность задания граничных условий 1, 2 или 3 рода, условий постоянства неизвестной функции u на внутренних границах, скачка u на разрезах и других дополнительных условий;

– возможность задания нелинейных коэффициентов уравнения, зависящих от неизвестной функции u и ее градиента;

– использование конечных элементов 1 и 2 порядка (треугольники, четырёхугольники, тетраэдры), в том числе изопараметрических, а также бесконечных элементов для решения задач в постоянном внешнем поле;

– широкие возможности постпроцессорной обработки результатов;

Работа над задачей в данном пакете, с точки зрения пользователя, разбивается на традиционные шаги:

– на этапе препроцессора задается описание геометрии объекта и его свойств, вид дифференциального уравнения, граничные и другие условия, проводится генерация конечно-элементной сетки, задаются параметры вычислений;

– на этапе решения процессор (решатель) формирует и решает систему дискретных уравнений;

– на этапе постпроцессорной обработки происходит визуализация результатов, получение интегральных и дифференциальных характеристик, графиков и таблиц.

С его помощью можно решать двух- и трехмерные задачи моделирования магнитных полей в многосвязных областях сложной формы в присутствии сверхпроводящих токонесущих элементов и рассчитывать электромеханические характеристики реальных конструкций СЭМП.

Взятые по отдельности рассмотренные свободно распространяемые конечно-элементные пакеты программ имеют ограниченные возможности и существенно уступают коммерческим, однако в совокупности при соответствующей адаптации позволяют моделировать различные физические процессы.