Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с дополнительными условиями
Пусть имеется система электродов, возможно, во внешнем электрическом поле. Требуется найти распределение электростатического поля в области, окружающей эти электроды, при условии, что электрод (проводник) заряжен (известен либо его заряд, либо потенциал на его поверхности) или не заряжен (известно только, что потенциал постоянен на поверхности проводника). Искомое распределение удовлетворяет уравнению Лапласа для потенциала с граничными условиями 1-го или 2-го рода, а также дополнительными условиями:
u = const на поверхности проводника;
(интеграл по
поверхности проводника равен вполне
определенному числу)
В двумерной задаче поверхность проводника превращается в линию, а интеграл по поверхности – в криволинейный интеграл.
Пример 4. Найти распределение электростатического поля вблизи бесконечного провода круглого сечения, помещенного в поле плоского конденсатора (рис. П13).
Рис. П13.
Ввиду симметрии задачи достаточно рассмотреть лишь половину области.
Порядок действий:
1) Введите геометрические объекты, как показано на рис. П14. Это можно сделать способом, приведенным ниже.
Р
ис.
П14.
Ввод геометрии.
Ввести узлы:
<F3> [0,0,1,0,0.4,0.4, 0.5,0] <Enter> <Ctrl+F1>
Построить пятый узел поворотом узла 2 на 45:
<Space> «Поворот-копирование» «Узлы» [2,1,45] <Enter>
Ввести линию как дугу окружности:
<F4> «дуга окружности» [2,5,1] <Enter>
Ввести прямую линию:
<F4> «прямая по узлам» [4,3] <Enter>
Ввести узлы:
<F3> [2.2,0\2,0.8\2,2\ 3.7,0\3.7,0.8\3.7,2\3.7, 3.7] <Enter> <Ctrl+F1>
Ввести линию, соединяющую узлы 6 и 7:
<F4> «прямая по узлам» [6,7] <Enter>
Аналогично ввести линии по узлам [7,8], [9,10], [10,11], [11,12].
Ввести зону по линиям 2 и 1: <F5> [2,1] <Enter>
Аналогично ввести зоны по линиям [1,3], [3,5], [4,6].
Построить новые зоны зеркальным отражением существующих относительно оси, проходящей через узлы 1, 5:
<Space> «Зеркальное отражение» «Зоны» [1,2,3,4,1,5] <Enter> <Ctrl+U> [0.01]<Enter>
Ввести линию по узлам [1, 4].
Ввести четырехугольные зоны по линиям [27,15], [18,4], [25,7].
Окончательно получить расчетную область можно получить зеркальным отображением всех зон относительно оси, проходящей через узлы 1, 18. По завершении этой операции для объединения узлов следует нажать <Ctrl+U> [0.01]<Enter>.
2) Задание граничных условий: на левой границе области (на рис. П14 линии 38, 42, 54) u=0, на правой (линии 5, 6, 7) u=10. Решаемое уравнение – уравнение Лапласа – должно быть установлено по умолчанию (убедитесь в этом).
3)
Задание
дополнительных условий.
На линиях, являющихся дугами окружности
(на рис. П14 это линии 1, 16, 44, 32), задайте
условие u=const
(незаряженный проводник) или интегральное
(заряженный проводник): «Файл»
«Граничные условия»
«u=const»
[список линий]
<Enter>
или «Файл»
«Граничные условия»
«Интегральное» [список
линий
<запятая>значение
Q].
В качестве значения Q
введите, например, 4.
4) Разбиение. Разбейте зоны на конечные элементы, начиная с зоны 1 и задавая для нее числа деления 14 (вдоль дуги окружности) и 10, далее приблизительно выдерживая эту плотность во всех остальных зонах.
5) Произведите, как обычно, расчет и анализ поля. Определите значение потенциала на поверхности проводника.
Пример 5. Найти распределение электростатического потенциала для системы проводников, изображенной на рис. П15.
Рис. П15.
1) Задание геометрии.
Ввести геометрические объекты примерно так, как показано на рис. П16 (нумерация может не совпадать с приведенной на рисунке). При этом рекомендуется пользоваться операциями параллельного переноса, сдвига и зеркального отображения.
Рис. П16.
Поскольку нумерация объектов может не совпадать, далее вместо фигурных скобок следует понимать реальный номер того объекта, который на рисунке имеет указываемый номер. Нажать Alt+F4, затем ввести {номер линии 43}, 1, 1. В результате появится узел посередине линии {43} (это означает, что теперь линия {43} задается не по двум узлам, а по трем и в общем случае может быть параметрической кривой второго порядка). Выполнить то же самое для линий {36}, {51}, {52}. Через F1, стрелки и клавиши «<», «>» укрупнить изображение зоны {21}.
Зацепить мышью (нажать и не отпускать левую кнопку) серединный узел линии {43} (на рис. П17 это узел 37), и перетащить его немного вверх, чтобы получилась кривая, как на рис.П17. Аналогичным образом выполнить эту операцию для линий {36}, {51}, {52}.
2) Задание граничных и других условий.
На
линиях {57},{53},{45},{50}, {34}, {40}, {12}, {22} задать
условие u=0.
На линиях {43}, {36}, {51}, {52} задать интегральное
условие
(заряд), на линиях {5},{9}, {6},{2} – условие
u=const
(отсутствие заряда).
Рис. П17.
3) Триангуляция. Разбить зоны на конечные элементы (треугольники 1-го порядка), более-менее соблюдая равномерность сетки во всей области. Числа деления в зоне {1}: 12 и 12. Зоны {21} и {2} можно не разбивать.
4) Решение задачи. Анализ распределения поля. Рассчитать функцию u. Вывести на экран картину поля, определить значение u на линиях зоны {2}.
Модификации. Решить рассмотренную задачу при измененных условиях:
а) на всех внешних граничных линиях задано u=0, остальные условия те же;
б) на левой внешней границе области u=0, на правой u=1, на верхней и нижней – ; на линиях зоны {21} и зоны {2}: u=const,
в) на всех внешних граничных линиях u=const; заданы полные заряды электродов (зоны {21} и {2}), т.е. интегральные условия на соответствующих линиях.