Упражнение

1. Получить выражение для матричных элементов с учетом интеграла по границе для симплексных конечных элементов – треугольника и тетраэдра.

3.4 Моделирование экранов

A. Электростатические экраны

Электростатические экраны предназначены для экранирования постоянных электрических полей.

Задача формулируется следующим образом:

d

Рис. 3.10.

iv grad = 0 в области , (3.40)

где Г₁ – поверхность экрана; Г₂ – внешняя удаленная граница; – напряженность внешнего постоянного электрического поля; . Неоднородное условие Неймана (3.42) может быть заменено на условие Дирихле, когда внешнее поле создается системой электродов с заданными потенциалами ₁, ₂, ... .

Дискретную форму задачи (3.40–3.42) получим с помощью метода Ритца. Заметим, что интеграл

(3.43)

определяет запасенную в области  энергию поля, а

(3.44)

есть энергия, подведенная к объему . Если в (3.44) оставить только интеграл по границе Г₂, а для нормальной производной подставить выражение (3.42), то согласно принципу наименьшей энергии в системе устанавливается такое распределение потенциала , для которого величина

F() = F₁() + F₂() (3.45)

принимает наименьшее значение среди всех возможных распределений, удовлетворяющих условию на Г₁.

Чтобы перейти к дискретному аналогу, необходимо выбрать аппроксимацию для функции . Если граничные условия могут быть аппроксимированы гладкими функциями, то обычно используется представление

, (3.46)

где {N_i} – система базисных функций из конечномерного пространства с ограниченной нормой, _i – параметры.

Подставив (3.46) в (3.43–3.45), получим F как функцию параметров ₁, ... , _М. Применив необходимое условие экстремума

,

придем к системе алгебраических уравнений

S = F, (3.47)

где , , причем здесь некоторые из _i для выполнения условия (3.41) должны быть фиксированными.

В МКЭ область  разбивается на подобласти _е без пропусков и перекрытий. На каждой такой подобласти используется аппроксимация

, (3.48)

где – базисные функции, равные нулю всюду, кроме рассматриваемого элемента е, – коэффициенты, полностью определяющие аппроксимацию. Наиболее часто используется интерполяция лагранжевого типа, при которой – значения функции ^е в ряде фиксированных точек (узлах) элемента. В частности, такую интерполяцию обеспечивают функции , являющиеся полиномами Лагранжа.

На всей области  аппроксимация определится следующим образом. Пусть точка с координатами (x, y, z) принадлежит элементу е, тогда

(3.49)

(_ее – символ Кронеккера).

Если определить функционал на элементе е как

, (3.50)

то в силу аддитивности энергии можно записать

.

Теперь F() с учетом (3.48) является функцией параметров , однако не все из этих параметров являются независимыми. Например, для лагранжевой интерполяции должна быть обеспечена непрерывность функции на границах элементов, вследствие чего значения, лежащие в узлах на этих границах и относящиеся к соседним элементам, должны совпадать. Применив условие стационарности к F() относительно независимых параметров _i , получим систему уравнений

S = F

с большим количеством нулей вне главной диагонали. При этом для удовлетворения условия Дирихле необходимо зафиксировать ряд параметров _i, т.е. их не варьировать. Решив систему, найдем коэффициенты {_i} и из (3.49) функцию  во всей области .

Б. Магнитные экраны

Э краны данного типа используются для экранирования магнитостатических полей и обычно изготавливаются из магнитомягкого материала. Для описания распределения поля используется скалярный магнитный потенциал:

d

Рис. 3.11.

iv(grad_M) = 0 в области ,

на границе Г₂,

где – напряженность внешнего постоянного магнитного поля; . Функционал задачи и дискретная форма уравнений имеют вид:

,

S = F,

, .

В. Сверхпроводниковые магнитные экраны

Действие сверхпроводниковых экранов основано на фундаментальных свойствах сверхпроводников – эффекте Мейсснера, нулевом электрическом сопротивлении, законе сохранения магнитного потока в многосвязных сверхпроводниках, квантовании магнитного потока в сверхпроводниках. Такие эк­раны обеспечивают наиболее эф­фективное экранирование от вне­шних электромагнитных полей.

Р

Рис. 3.12.

ассмотрим односвязный экран из сверхпроводника, находящегося в мейсснеровском со­стоянии. Поскольку поле внутрь такого сверхпроводника прони­кает лишь на очень малую глубину (~ 10^–4 – 10^–6 см), то задача определения магнитного поля ставится только для внешней области и формулируется следующим образом

div grad_M = 0 в области , (3.51)

, (3.52)

. (3.53)