Упражнения

1. Длина кривой, соединяющей две точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁) есть

.

Используя соответствующее уравнение Эйлера, найти путь наименьшей длины между этими точками.

2. Найти кривую y(x), проходящую через две точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁) и дающую минимальную площадь поверхности вращения при вращении кривой вокруг оси x. Рассмотреть функционал

.

3. Найти уравнение Эйлера, соответствующее функционалу

а) ;

б) ;

в) ,  S  0, c = const);

г) ;

д) .

4. Рассмотреть функционал

,

где k и T – постоянные. Найти уравнение Эйлера и выяснить вид главных и естественных краевых условий при x = 0 и x = L . Уравнение Эйлера описывает малые отклонения нагруженного троса, покоящегося на упругом основании жесткостью k.

5. Рассмотреть функционал

,

где k, Q,  и q^ зависят только от x, y. Найти уравнение Эйлера и выяснить вид естественного краевого условия, если допустимые функции удовлетворяют условию  = ^ на Г₁ = Г – Г₂.

6. Показать, что стационарное значение функционала

– это минимальное значение для всех допустимых функций , удовлетворяющих главному краевому условию =^ на Г₁=Г–Г₂.

Указание. Рассмотреть функционал для функции _Т+h, где _Т – точное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее краевым условиям, h – достаточное число раз дифференцируемая функция, обращающаяся в 0 на границе,  – малый параметр (действительное число).

7. Методом Релея-Ритца провести дискретизацию краевой задачи d²_/dx² +  + 1 = 0, 0x1; =0 при x=0; d_/dx=1 при x=1. Показать, что матрица полученной системы является положительно определенной.

2.3 Проекционные методы дискретизации

Основной принцип методов проекций базируется на теореме, присущей гильбертовым пространствам и определяющей пространство, в котором только нулевой вектор ортогонален всем векторам пространства. В пространстве L₂, в котором можно расположить большинство физических задач, ортогональность двух функций f и g определяется в виде скалярного произведения:

.

Рассмотрим для определенности краевую задачу (2.8). Метод взвешенных невязок состоит в проекции функций, называемых невязками в области  и на границе Г₂ соответственно –

R_ = () + , (2.18)

R_Г2 = _/n + q (2.19)

 на семейства независимых функций {W_m} и {W^_m} с помощью скалярных произведений

Можно также потребовать равенство нулю невязки на ₁, однако это выгоды не дает, поскольку условие Дирихле (2.8b) точно учитывается путем соответствующей модификации системы уравнений (см. разд. 4).

Множество функций {W_m} образует пространство, в котором, для того чтобы R_ = 0, невязка в  должна быть ортогональна всем базисным векторам. Аналогичное утверждение справедливо в отношении функций W^_m.

. (2.20)

Если {W_m} образует пространство бесконечных размеров, т.е. M=, то можно достичь эквивалентности между задачей в частных производных и ее интегральным представлением при условии, что  удовлетворяет главному краевому условию (2.8с). Однако при практическом применении функции W_m образуют конечномерное пространство, так как при использовании аппроксимации (12) имеем конечное число параметров ₁, ... , _M (степеней свободы), которые определяют число функций W_m в соответствии с числом уравнений.

Подставив выражение для  (12) в (20), получим систему уравнений для определения параметров {_i}. Однако в этом случае потребуется вычисление интегралов вида

,

для исключения особенностей в которых необходимо, чтобы базисные функции {N_i} принадлежали классу гладкости С¹, т.е. были непрерывны вместе со своими первыми производными. Такое ограничение наряду с несимметричностью матрицы системы уравнений крайне нежелательно при использовании вычислительных процедур, в частности МКЭ. Поэтому преобразуем первый интеграл в (2.20) по формуле Грина:

. (2.21)

Теперь базисные функции {N_i} и {W_i} должны принадлежать классу гладкости С⁰ (быть только непрерывными). Подобное преобразование, обеспечивающее понижение степени гладкости допустимых функций, является ключевым для конечноэлементной формулировки задачи. Ограничив выбор базисных функций требованием

W_j = 0 на Г₁.

W_j = ^–W^_j на Г₂.

и применяя аппроксимацию для  (2.12), получаем

, (2.22)

где

, (2.23)

. (2.24)

Если положить W_j = N_j, что соответствует методу Галеркина, получим те же итоговые выражения (2.15–2.17), что и при использовании вариационного метода Релея-Ритца. Преимущество проекционных методов заключается в том, что не требуется знания естественного вариационного принципа, соответствующего рассматриваемой краевой задаче. Однако, если известно вариационное представление задачи, то его использовать предпочтительнее, так как, во-первых, это гарантирует симметричную форму уравнений, обеспечивает нужный класс гладкости базисных функций, во-вторых, функционал часто представляет конкретную физическую величину, например, энергию поля. Если минимизация такого функционала ведет к точному решению, то приближенное значение функционала дает оценку сверху для минимального его значения.

Среди других формулировок для МКЭ можно использовать смешанные вариационные формулировки с множителями Лагранжа, сопряженные вариационные принципы, метод штрафных функций и метод наименьших квадратов [92].