Упражнения
1. Провести дискретизацию задач для векторного потенциала и функции потока, приведенных предыдущем разделе. Для вариационной формулировки использовать выражения функционалов
,
.
Получить систему линейных уравнений с учетом условий для разности (3.18) и постоянства узловых потенциалов (3.20). Данные условия отличаются от условия скачка тем, что они относятся значениям потенциала в разных точках. В теории метода конечных элементов такие условия носят названия сдвига (периодичности) и симметричности и имеют важное практическое применение, например, если заранее известно что потенциалы в двух точках отличаются на С:
.
2. Провести дискретизацию осесимметричной и трехмерной задачи для скалярного потенциала с учетом условия скачка. Использовать функционалы
,
.
3. Дать формулировку двумерной задачи для векторного потенциала для токонесущей сверхпроводниковой системы, помещенной в постоянное внешнее магнитное поле .
3.3 Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
Строго говоря, интегрирование в уравнениях, определяющих конечно-элементную формулировку, должно производиться по ограниченному объему. Поэтому для систем, находящихся полностью, либо частично в открытом пространстве, приходится искусственно замыкать объем некоторой границей, достаточно удаленной, чтобы не оказывать существенного влияния на решение вблизи сверхпроводников. Ошибку, обусловленную сведением поставленной задачи к задаче с конечным пространством, можно оценить путем повторного решения задачи для случая удаления открытых участков границы на большее расстояние.
Рассматриваемые системы имеют токонесущие сверхпроводники. Задание токов обеспечивается условиями скачка магнитного скалярного потенциала на определенных линиях. В такой постановке потенциал на бесконечности не принимает фиксированного значения, поэтому использование бесконечных элементов, позволяющих естественным образом учесть затухание поля, невозможно. Однако возможен подход, основанный на вариационном представлении задачи, в котором влияние области за границей замыкания учитывается с помощью дополнительного граничного интеграла, а детали распределения поля в этой области игнорируются.
Функционал данной задачи
(3.37)
представляет собой энергию, запасенную во всей области определения задачи . Пусть занимает все пространство, а граница Г разделяет внутреннюю область и внешнюю область E. Тогда функционал представится в виде
.
(3.38)
Преобразуя второй
интеграл по формуле Грина и учитывая,
что на бесконечности
и внутри E
2
= 0, получим
.
(3.39)
Знак “–” здесь объясняется тем, что нормаль является внешней по отношению к области . Таким образом, для открытой многосвязной системы функционал (3.37) принимает минимальное значение при функции , являющейся решением уравнения Лапласа (3.24) на множестве допустимых функций, удовлетворяющих условию (3.26). В такой формулировке конечно-элементное решение относится только к области , однако оно сходится к точному решению с ростом числа степеней свободы. В этом отличие от формулировки, игнорирующей интеграл по E в (3.38).
Рис. 3.8. Сведение
полубесконечной области E
к конечной области .
Для аппроксимации вида (3.28) условие стационарности функционала (3.39) приводит к системе уравнений относительно параметров дискретизации i
,
матрица которой есть
,
а вектор правых частей {Gi} формируется путем учета условия скачка. Таким образом, здесь в выражении для матричных элементов появляется дополнительное слагаемое – интеграл по границе Г. Это слагаемое отлично от нуля только в случае, когда соседние узлы i и j лежат на данной границе. Матрица Sij остается симметричной.