Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения

Принципиальная схема подвеса данной конструкции представлена на рис. 5.3. Подъемная сила здесь создается катушкой квадратного сечения, удаленной от крышки пробного тела на значительно большее расстояние, чем плоская катушка в конструкции, рассмотренной выше. Параметры катушки: 100 витков (1010), диаметр провода 0.2 мм, расстояние между витками 0.1 мм, внутренний радиус 3 мм, внешний – 5.9 мм. Расстояние от катушки до ПТ 3.85 мм.

Рис. 5.3. Принципиальная схема датчика (вариант б)

Рис. 5.4. Каркас с намотанными катушками для варианта б конструкции датчика (в разрезе).

5.2 Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика

В результате вычислительного эксперимента были получены следующие результаты [28, 31-33, 45, 50-52, 62, 66, 67].

А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой

Было проанализировано два варианта данной конструкции подвеса. В первом из них предполагалось, что каркас для намотки катушек изготовлен из гиперпроводника (высокочистая медь или алюминий), во втором – из сверхпроводника (ниобий). В дальнейшем величины, относящиеся к датчику с каркасом из гиперпроводника, помечены верхним индексом ⁽¹⁾, к датчику с каркасом из сверхпроводника – индексом ⁽²⁾.

Для получения зависимостей E=E(z), F_z=F_z(z) (табл. 5.1, рис. 5.5) решались осесимметричные задачи, различающиеся расстоянием d от ПТ до плоской катушки. Число степеней свободы – 58658 и 61792 для 1-го и 2-го вариантов соответственно, тип КЭ – изопараметрический треугольный элемент 2-го порядка. На рис. 5.6 показан фрагмент конечно-элементной сетки одной из задач.

Таблица 5.1

Зависимости энергии и подъемной силы от вертикального смещения ПТ для варианта а конструкции датчика. (Результаты решения двух серий осесимметричных задач с каркасом из гиперпроводника и сверхпроводника соответственно). Индексом * отмечено рабочее положение ПТ (z₀=0.45 мм)

	гиперпроводник		сверхпроводник
d, мм	E  106, Дж	Fz  103, Н	E  106, Дж	Fz  103, Н
0,30	5,516065	3,476326	3,243706	1,642171
0,35	5,700857	3,285826	3,319943	1,414170
0,40	5,875540	3,110936	3,385854	1,229181
*0,45	6,041029	2,949463	3,443322	1,074907
0,50	6,198035	2,799286	3,493783	0,947178
0,55	6,347227	2,659600	3,538374	0,839253
0,60	6,489185	2,528749	3,577970	0,747834
0,65	6,622855	2,406948	3,613359	0,669177
0,70	–	–	3,645129	0,601564

Рис. 5.5. Графики зависимостей E=E(z), F_z=F_z(z) (полужирные линии – подвес с каркасом из гиперпроводника, тонкие – из сверхпроводника).

Рис. 5.6. Разбиение рабочей области задачи на конечные элементы (вариант конструкции с каркасом из сверхпроводника).

Ряд характерных графиков и распределений магнитного поля в рабочем объеме подвеса показан на рис. 5.7-5.9.

Рис. 5.7. Распределение напряженности вдоль крышки подвеса.

Рис. 5.8. Распределение эквипотенциалей в рабочем объеме датчика.

Аналогичные расчеты выполнены для подвеса, в котором витки катушек заменены кольцами прямоугольного сечения, плотно прилегающими друг к другу. Такая аппроксимация соответствует случаю пренебрежения неоднородностью поля в

Рис. 5.9. Линии равного модуля градиента потенциала и матрица стрелок.

ближайшей окрестности витков. Указанная замена обеспечивает сокращение числа степеней свободы в несколько раз (число степеней свободы – 6282 и 5135 для 1-го и 2-го вариантов соответственно).

Чтобы найти остальные зависимости, потребовалось решить серию трехмерных задач. Число степеней свободы – 261135 и 180327 для 1-го и 2-го вариантов подвеса соответственно, тип КЭ – изопараметрический тетраэдральный элемент 2-го порядка. Полученные зависимости для 1-го варианта конструкции подвеса приведены в табл. 5.2-5.3 и на рис. 5.10, для 2-го – в табл. 5.4-5.5 и на рис. 5.11. В трехмерном случае провести расчет с учетом витковой структуры катушек на ПК невозможно, поэтому катушки представлялись в виде колец, как показано выше.

Максимально допустимый ток запитки цепи подвеса найден из условия, что напряженность создаваемого им поля ни в одной точке расчетной области не должна превышать первое критическое поле H_c1=B_c1/₀111400 A/м. Найденное в задаче с током 1 А в цепи подвеса значение максимальной напряженно­сти поля составляет при d=0.45 мм H_max12020 А/м, следовательно, максимальный ток запитки равен I_max=H_c1/H_max9.3 А.

Рис. 5.10. Зависимости компонент силы, момента сил и энергии от бокового смещения d и углового смещения  (подвес с каркасом из гиперпроводника).

Рис. 5.11. Зависимости компонент силы, момента сил и энергии от бокового смещения d и углового смещения  (подвес с каркасом из сверхпроводника).

Определим максимальную подъемную силу (F_z)_max, соответствующую этому току. Так как (F_z)_max  I²_max , то  0.279 Н и  0.102 Н(F_z)_max  0.316 Н. Такая сила удержит в поле силы тяжести массу пробного тела, приблизительно равную 28 г и 10.5 г соответственно (при реальной массе ПТ 3,85 г).

Таблица 5.2

Зависимости энергии, компонент силы и момента силы от бокового смещения d (подвес с каркасом из гиперпроводника)

d, мм	E  106, Дж	Fz  103, Н	Fx  103, Н	My  106, Нм
0	6,06488940	3,24748	0	0
0,05	6,06111174	3,24760	0,15355	0,39060
0,10	6,04974596	3,24787	0,30818	0,78414
0,15	6,03069618	3,24837	0,46552	1,18469
0,20	6,00379259	3,24902	0,62687	1,59549
0,25	5,96877607	3,24987	0,79445	2,02239
0,30	5,92526444	3,25090	0,97122	2,47285
0,35	5,87267094	3,25210	1,16278	2,96082

Таблица 5.3

Зависимости энергии, компонент силы и момента силы от углового смещения  (подвес с каркасом из гиперпроводника)

, град	E  106, Дж	Fz  103, Н	Fx  103, Н	My  106, Нм
0	6,06488940	3,24748	0	0
0,05	6,06487246	3,24750	0,08007	0,03412
0,15	6,06474224	3,24769	0,24014	0,10236
0,25	6,06448244	3,24800	0,39980	0,17060
0,40	6,06384368	3,24899	0,64172	0,27347
0,55	6,06290995	3,25035	0,88402	0,37673
0,70	6,06167240	3,25216	1,12781	0,48063
0,85	6,06012901	3,25446	1,37358	0,58538
1,00	6,05827010	3,25726	1,62187	0,69119
1,25	6,05444993	3,26316	2,04228	0,87038

Таблица 5.4

Зависимости энергии, компонент силы и момента силы от бокового смещения d (подвес с каркасом из сверхпроводника)

d, мм	E  106, Дж	Fz  103, Н	Fx  103, Н	My  106, Нм
0	3,614146	1,180586	0	0
0,05	3,610550	1,180737	0,14462	0,36752
0,10	3,599654	1,181238	0,29356	0,74536
0,15	3,581122	1,181991	0,45174	1,14479
0,20	3,554342	1,182992	0,62549	1,57933
0,25	3,518322	1,184184	0,82468	2,06751

Таблица 5.5

Зависимости энергии, компонент силы и момента силы от углового смещения  (подвес с каркасом из сверхпроводника)

, град	E  106, Дж	Fz  103, Н	Fx  105, Н	My  107, Нм
0	3,614146	1,180586	0	0
0,1	3,614080	1,180743	1,355945	0,45600
0,2	3,613884	1,181120	2,713962	0,91276
0,3	3,613554	1,181799	4,072704	1,37001
0,4	3,613093	1,182733	5,435836	1,82896
0,5	3,612498	1,183992	6,804504	2,29001
0,6	3,611768	1,185478	8,179076	2,75368
0,7	3,610902	1,187304	9,561888	3,22048

Аналогичным образом найдем ток, при котором ПТ будет левитировать на расстоянии d=0.45 мм: =3.41 А, =5.65 А (Здесь g – ускорение свободного падения). Экспериментально измеренное значение (с точностью 10%) [61]. Таким образом, отличие I⁽¹⁾ от составляет  6.2%, что меньше точности данных экспериментальных измерений. Это говорит о практическом совпадении результатов моделирования с экспериментальными данными.

Элементы матрицы жесткостей вычисляются по формуле (5.2) в точке, соответствующей равновесному положению подвеса. Для токов I⁽¹⁾=3.41 А и I⁽²⁾=5.65 А, обеспечивающих подвешивание ПТ на высоте d=0.45 мм, получим следующие значения жесткостей:

= 39.99 Н/м, = 92.64 Н/м,

=35.64 Н/м, = 92.58 Н/м,

= 0.503510^–3 Нм, = 1.38510^–3 Нм,

= 0.107 Н, = 0.249 Н.

Вычислим также собственные частоты колебаний:

= 16.22 Гц, = 24.69 Гц,

= = 15.31 Гц, = = 24.68 Гц,

= =7.79 Гц, = = 12.93 Гц.

С увеличением высоты подъема пробного тела жесткость c_zz убывает.