4.4 Постпроцессор

Задачей постпроцессора является анализ и визуализация результатов решения задачи, вычисление интегральных и локальных характеристик. Имеется возможность построения линий равного потенциала, цветовых карт, матриц стрелок, что дает возможность качественного анализа картины поля. Кроме этого, могут быть построены графики и таблицы для функции u, ее производных и градиента между любыми двумя точками области, а также вдоль граничных линий, вдоль линий может быть также построен график изменения нормальной производной. Для нестационарных задач имеется возможность построения графика изменения функции и ее производных в одной точке области в зависимости от времени.

Постпроцессор комплекса FEMPDESolver запускается с помощью DOS-программы post2d.exe. Входными данными являются файлы, созданные препроцессором и процессором: taskinfo.xxx, nn1.xxx, xr.xxx, yr.xxx, potent.xxx, rhs.xxx. Выходных данных нет. В структуре постпроцессора можно выделить отдельные блоки (рис. 4.11), назначение и краткая характеристика которых приводятся ниже.

Рис. 4.11. Взаимодействие блоков и обмен данными в постпроцессоре.

Блок визуализации исходных данных задачи предоставляет те же возможности, что и аналогичный блок препроцессора. Может меняться масштаб и ракурс изображения, разрешаться/ запрещаться вывод тех или иных объектов и их номеров, и т.д.

Блок локальных характеристик содержит функции вычисления самой неизвестной функции u, ее пространственных производных и градиента в заданной точке области (x, y), что необходимо для работы практически всех остальных блоков. Также предусмотрен вывод локальных величин в заданном узле и заданном конечном элементе.

При задании произвольной точки (x, y) вычисление указанных характеристик нельзя выполнить непосредственно. Действительно, сначала требуется определить конечный элемент, которому принадлежит эта точка. Скорость вычисления зависит от того, насколько эффективно организован поиск этого элемента. Наиболее простой алгоритм использует цикл по всем конечным элементам и расчет локальных координат точки (x, y) для каждого элемента. Так, точка принадлежит треугольному конечному элементу, если для всех его локальных координат выполняются условия

0  _i  1.

После того, как элемент найден, требуемые величины определяются по формулам

,

где обозначает совокупность локальных координат, U_m – значения функции u в узлах элемента, N_m( ) – функции формы для данного типа элементов. Применительно к лагранжевому элементу 1-го порядка градиент имеет более простой вид

.

Видно, что и для нахождения элемента, и для расчета величин требуется знать локальные координаты произвольной точки (x, y, z), относящиеся к элементу е. В общем случае локальные координаты определяются из соотношений

, (4.2)

которые являются нелинейными уравнениями. Для их решения обычно применяется метод Ньютона. Однако в случае, когда используются треугольные конечные элементы с прямыми сторонами, то зависимости (4.2) становятся линейными. Тогда локальные координаты выражаются с помощью прямых формул:

, i = 1, 2, 3, (4.3)

где A – площадь конечного элемента, коэффициенты {a_i, b_i, c_i} выражаются через координаты вершин элемента. Естественно, вычисление локальных координат по формулам (4.3) предпочтительнее, чем с помощью итераций Ньютона, поэтому эффективность вычислений можно повысить, если изопараметрические (криволинейные) элементы использовать только вблизи физически значимых криволинейных границ и разделов сред, а внутреннюю область заполнять афинными (прямолинейными) элементами. Так как в рассматриваемом комплексе программ расчетная область задачи предварительно разбивается на зоны (подобласти), дискретизация которых производится последовательно и независимо друг от друга, то в различных зонах оказывается возможным использовать элементы различных типов. Например, зоны, имеющие криволинейные границы, целесообразно разбивать на изопараметрические элементы, а в остальных использовать афинные элементы.

Блок интегральных характеристик обеспечивает вычисление таких величин, как запасенная энергия системы, сила и момент сил, действующие на некоторую помечаемую пользователем линию со стороны поля, индуктивность, максимальный градиент функции, и др. Интегральные величины могут быть двух типов. Первые вычисляются интегрированием по объему конечных элементов, а вторые – интегрированием по их границам. Следует отметить, что МКЭ естественным образом приспособлен для их вычисления: требуется лишь организация цикла по элементам, интегрирование на каждом элементе и накопление результатов в соответствующей переменной (сумме).

Запасенная энергия непосредственно связана с функционалом задачи, который, как было сказано выше, минимизируется в МКЭ и определяется наиболее точно. Расчет для электро- и магнитостатических задач производится по формуле:

для плоских задач и

для осесимметричных задач.

Сила, в отличие от энергии, определяется путем интегрирования по некоторой линии, а значит, по границам элементов, примыкающих к этой линии:

,

(формулы для плоских и осесимметричных задач). Здесь – нормаль к границе S.

Блок построения графиков позволяет получать графики распределения функции u, ее производных и градиента вдоль любого заданного пользователем отрезка либо линии. Для двумерных областей, кроме этого, может быть построен график изменения нормальной производной вдоль граничной линии (прямой или кривой). Также для двумерных областей может быть построен трехмерный график, представляющий с обой изображение поверхности u=f(x,y) или u=f(x,y) с возможностью поворота относительно всех трех осей координат (рис. 4.12).

Значения функции, ее производных и градиента вычисляются блоком локальных характеристик в точках, расположенных вдоль выбранного контура с некоторым шагом. Затем по этим точкам строится график с учетом известного характера аппроксимации функции на элементе. Здесь следует отметить, что при отображении графика градиента (или производных) зависимость имеет характерные скачки, возникающие при переходе от элемента к элементу. Помимо графического представления, вычисленные вдоль указанного контура данные могут быть выведены в форме таблицы на экран, принтер или в файл.

Блок визуализации поля содержит функции построения эквипотенциалей, матриц стрелок и цветовых карт.

Решение на всей области может быть записано в виде

,

где – функция формы элемента e, связанная с узлом i. Построение эквипотенциалей с шагом  требует решения уравнений

, k = 0, 1, 2, ...

на каждом элементе. В случае линейных треугольных элементов это не представляет большого труда, так как эквипотенциали в пределах одного элемента будут представлять собой отрезки прямых. Для квадратичных элементов они являются частями кривых, и необходимо вычислять несколько промежуточных точек внутри элемента.

Матрицы стрелок позволяют наглядно представить поведение градиента потенциальной функции во всей области или в ее части, определить районы наибольших и наименьших значений градиента. В заданной пользователем части области строится регулярная сетка узлов с заданным шагом, и в каждом из них вычисляется градиент, затем из каждого узла рисуется вектор, длина которого пропорциональна модулю градиента.

Функция построения цветовой карты позволяет определить районы наибольших и наименьших значений функции или ее градиента путем их окрашивания в разные цвета. Элементы, для которых значение указанной величины попало в один из диапазонов, закрашиваются определенным цветом. В другом режиме пользователь задает граничное значение величины, и окрашиваются только те элементы, для которых эта величина оказывается больше введенной пользователем.

Блок вывода результатов обеспечивает сохранение изображений и таблиц на диске в виде файлов либо вывод их на принтер для печати. В любой момент изображение, имеющееся на экране, может быть сохранено в виде BMP-файла (цветного или черно-белого), будь то изображение картины поля или график. Выведенные на экран таблицы значений функции, градиента и т.д. могут быть сохранены в виде текстового файла, например, для дальнейшей обработки табличным процессором.