2.2 Вариационные методы дискретизации
При исследовании многих физических систем требуется найти функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения, которое описывает поведение рассматриваемой системы. В ряде случаев для исследуемой задачи можно установить естественную вариационную формулировку. Тогда для получения решения может быть принят альтернативный подход, состоящий в отыскании функции, доставляющей стационарное значение соответствующему данной задаче функционалу.
Пусть функционал задан в виде интеграла
,
(2.1)
где L и G – функции от (x, ...) и ее производных; – поверхность, ограничивающая замкнутую область ; d – элемент объема области; d – элемент площади поверхности. Тогда вариационная задача состоит в том, чтобы придать F() стационарное значение относительно вариаций по на множестве допустимых функций, удовлетворяющих общим краевым условиям:
B1(, x, ...) = 0 на 1, (2.2a)
B2(, x, ...) = 0 на 2, (2.2b)
где 1+2=. Для малых допустимых вариаций по , выражающихся в переходе от к +, определим соответствующую первую вариацию F():
.
(2.3)
Тогда условие стационарности F по требует, чтобы F = 0. Если после соответствующих преобразований равенство (2.3) можно переписать в виде
(2.4)
где A – некоторое дифференциальное выражение, то в силу произвольности из условия стационарности следует, что
A(, x,...) = 0 на . (2.5)
Таким образом, имеется естественный вариационный принцип для нахождения решения дифференциального уравнения (2.5), подчиненного краевым условиям (2.2). Искомая функция доставляет функционалу F() стационарное значение относительно вариаций по на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям. Дифференциальное уравнение (2.5) называется уравнением Эйлера. Можно показать, что для любого вариационного принципа существует соответствующее уравнение Эйлера. Обратное утверждение неверно.
В некоторых случаях возможны такие преобразования правой части равенства (2.3), что первая вариация функционала будет определяться соотношением вида
,
(2.6)
и тогда согласно условию стационарности F на будем иметь
A(, x, ...) = 0 на , (2.7a)
B2(, x, ...) = 0 на 2 . (2.7b)
Краевое условие (2.7b) на Г2 теперь является естественным краевым условием, так как оно автоматически выполняется для функции , доставляющей функционалу F стационарное значение. Множество допустимых функций теперь расширилось, так как требуется только, чтобы любая функция из этого множества удовлетворяла главному краевому условию на Г1.
В качестве примера рассмотрим краевую задачу
где , , , q – заданные функции координат, (x, y, z) – неизвестная функция, (2.8a) – уравнение Пуассона. Условие типа (2.8b) называется краевым условием Дирихле, а (2.8c) – краевым условием Неймана.
Покажем, что функционал
,
(2.9)
где интегрирование производится по области определения задачи и части ее границы Г2, принимает стационарное значение для функции (x, y, z), являющейся решением краевой задачи (2.8) при условии, что допустимые функции удовлетворяют краевому условию (2.8b) на Г1 (главное краевое условие). Условие на Г2 является естественным.
Для первой вариации имеем
.
(2.10)
Применив формулу Грина для первого интеграла, получим
(2.11)
Последний интеграл равен нулю, так как и + удовлетворяют главному краевому условию на 1. Поскольку вариация произвольна, для F = 0 необходимо, чтобы
Для получения приближенного решения вариационной задачи обычно используется метод Релея-Ритца, согласно которому неизвестная функция заменяется суммой
,
(2.12)
где {Nm} система независимых базисных (пробных) функций; {m } параметры, как правило, значения функции ^ и ее производных в определенных точках узлах.
Подставляя (2.12) в (2.9), заметим, что функционал F теперь является функцией только величин 1, 2, ... , M.
–
.
(2.13)
Необходимое условие стационарности F
,
(2.14)
приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно {j}
,
(2.15)
где
,
(2.16)
,
(2.17)
Решив систему, искомую функцию ^ найдем с помощью (2.12). Матрица (2.16) – симметричная и положительно определенная.