Задания

13. Найти стационарное распределение температуры в пря­моугольной пластине 0xа, 0yb, все стороны которой под­держиваются при нулевой температуре. Пластина нагревается от источников тепла, мощность которых описывается законом:

1) Q(x,y) = c (x² + y²) + d (c , d – постоянные);

2) Q(x,y) = c sin (mx/a) sin (ny/b) (m,n – целые).

Данная задача сводится к решению уравнения Пуассона ku=–Q(x,y) (k – коэффициент теплопроводности) в прямоугольнике с граничными условиями u(x, 0) = u(x, b) = u(0, y) = = u(a, y) = 0.

14. Найти стационарное распределение температуры в области, представленной на рис. 15, если в подобластях ₁ и ₂ имеются источники поля постоянной плотности. В качестве граничных условий на внешней границе области использовать , либо какие-нибудь другие, не лишенные физического смысла.

15. Для конфигураций, представленных в заданиях 23-26 (стр. 34-36), найти распределение магнитного поля, считая, что через проводники течет ток с заданной постоянной плотностью j. Указание. Искомое распределение в виде векторного магнитного потенциала A можно найти, решив уравнения:

внутри проводника,

вне проводника.

16. Решить задачу Дирихле

в области, заданной неравенством , с условием на границе Г .

17. Решить задачу Дирихле

в области, заданной неравенством , с условием на границе Г .

18. Решить задачу Дирихле

а) б)

в области, заданной неравенствами , с условиями на границах:

Лабораторная работа № 5 Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред

Пример 8. В однородное электростатическое поле помещен бесконечный цилиндр диаметром d=2 из диэлектрика с проницаемостью ₁. Найти распределение поля вблизи и внутри цилиндра. Диэлектрическую проницаемость окружающего пространства считать равной 1.

Задача сводится к решению уравнения Лапласа u = 0 в прямоугольной области, состоящей из подобластей с различными значениями проницаемости, и с граничными условиями u = 0 при x = a, при x = b (a произвольно, расстояние |b–a| достаточно велико) и на остальной части границы.

Замечание. Для решения этой задачи воспользуемся геометрией, введенной в примере 4. Следует иметь в виду, что при загрузке геометрии из уже существующей задачи автоматически загружаются все другие параметры задачи, в частности, уравнение и граничные условия. Поэтому решаемое в примере 4 уравнение Лапласа автоматически переносится и на эту задачу. При этом принимается, что значение диэлектрической проницаемости  = 1 действует во всей области (а, значит, и во всех зонах). Изменить  можно двумя способами. Первым способом – через «Файл»  «Уравнение» и далее, меняя функцию A(r,u,u) в шаблоне дифференциального уравнения, – вид  определяется сразу для всей области и для всех зон. Второй способ – по схеме «Файл» «Неоднородности среды»  [номера зон]  «Вид уравнения»  «A(r,u,u)» – позволяет произвести изменения, относящиеся только к определяемым здесь зонам. Таким образом, чтобы задать в определенных подобластях значения , для соответствующих зон следует воспользоваться входом «Файл»«Неоднородности среды» «Вид уравнения», в остальных зонах будут действовать значения, установленные в окне пункта «Уравнение» меню «Файл».

1) Запустить pre2d.exe. Ввести новый номер задачи.

2) Нажать F9, затем ввести номер задачи, решенной в примере 4. Из предложенных двух вариантов выбрать «Данные для автоматического разбиения».

3) Чтобы появилась конечно-элементная сетка, нажать Ctrl+F8.

4) Удалите все граничные условия и другие условия на линиях (меню «Удал»).

5) Если в зонах, соответствующих цилиндру из диэлектрика, нет конечных элементов, провести там разбиение.

6) В этих зонах ввести отличную от всей области проницаемость ₁, например, ₁=0,3. Для нумерации зон, имеющей место на рис. 14, ввод может выглядеть так:

«Файл»«Неоднородности среды»[1,5,9,12,16,20] <Enter>«Вид уравнения»  «A(r,u,u)»  «const0» [0.3] <Enter> <Esc> <Esc>

7) Задать граничные условия на левой и правой стороне прямоугольной области: и .

8) Удостоверившись в правильности формулировки задачи («Файл»  «Информация»), выйти из препроцессора.

9) Задать параметры, вызвав программу appl_fem.

10) Выполнить вычисления с помощью программы difeqt.

11) Проанализировать поле с помощью post2d. Определить напряженность поля внутри цилиндра.