5.3 Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела

Датчик смещения ПТ представляет собой два электрода в виде диска и кольца, площади оснований которых одинаковы. На одном из них задается условие равенства потенциала нулю, на втором – единице. Кроме этого, необходимо задать условие постоянства электрического потенциала на поверхности ПТ и нулевой потенциал на внешнем экране датчика (экран заземлен).

Для получения зависимости энергии поля от величины зазора d между поверхностью ПТ и пластинами емкостного датчика была решена серия осесимметричных задач. Число степеней свободы – от 36286 (при d=0.1 мм) до 14192 (при d=1 мм), тип КЭ – изопараметрический треугольный элемент 2-го порядка. Распределение эквипотенциалей в расчетной области показано на рис. 5.21, зависимость энергии поля от величины зазора d – в табл. 5.9 и на рис. 5.2281.

Рис. 5.21. Распределение эквипотенциалей в емкостном датчике смещений ПТ.

Таблица 5.9

Зависимость энергии электростатического поля от расстояния d между ПТ и электродами датчика смещений

d, мм	Е  109, Дж
0,1	8,963656
0,2	5,126235
0,3	3,849639
0,4	3,174092
0,5	2,805866
0,6	2,551780
0,7	2,343745
0,8	2,250725
0,9	2,151963
1,0	2,075529

Рис. 5.22. Зависимость энергии электростатического поля от величины зазора между ПТ и электродами датчика смещений.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ПАКЕТЕ FEMPDESolver

Лабораторная работа № 1 Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение включает неизвестную функцию, которая зависит только от одной независимой переменной x. Таким образом, имеем одномерную задачу: область , на которой определяется уравнение, представляет собой отрезок axb. Требуется решить такую задачу с помощью комплекса программ FEMPDESolver, предназначенного для решения уравнений, заданных на двумерных областях. Это можно сделать, выбрав расчетную область в виде прямоугольника axb, cyd (c, d произвольны), задав на x=a и x=b соответствующие граничные условия из постановки задачи, а на y=c и y=d – однородные условия Неймана . Полученное таким способом двумерное распределение u не будет меняться вдоль y, а вдоль x даст искомое решение одномерной задачи.

Пример 1. Решить краевую задачу

, .

Порядок действий:

1) Запустить программу-препроцессор pre2d.exe.

2) Ввести номер задачи (от 1 до 999).

3) Ввести узлы (F3), задавая координаты точек:

0,0\0,5\5,0\5,5

После рекомендуется нажать Ctrl+F1.

4) Задать линии (F4), соединяя узлы 1, 2 и узлы 3, 4.

5) Задать четырехугольную зону (F5) по линиям 1, 2.

6) Скопировать зону, совершая параллельный перенос; для этого войти в меню «Операции», выбрать «Параллельный перенос», затем «Зоны», ввести номер зоны (№1) и вектор переноса {5,0}:

1\5,0

Для масштабирования изображения еще раз нажать Ctrl+F1.

На экране отобразится еще одна зона; теперь в совокупности обе зоны 1 и 2 образуют расчетную область задачи (рис. П1).

Рис. П1.

7) Задать граничные условия через меню «Файл», далее «Граничные условия»  «Дирихле», затем по запросу ввести номер линии

6

и, выбрав для функции Q(r,t) пункт «0», осуществить выход из меню задания граничных условий, перейдя с помощью Tab на «Ok» и нажав Enter.

Аналогично на линии 1 задать условие u=2; при этом в списке шаблонов функции Q(r,t) следует выбрать «const0» и затем ввести с клавиатуры число 2.

8) Задать уравнение по схеме «Файл»  «Уравнение»  «Пуассона» (этот пункт отмечается пробелом), перейти с помощью Tab на «More». Далее перейти на «A(r,u,u)», выбрать «A(r)», затем

«f1(r) –> Экспонента» <Enter>

набрать на клавиатуре в соответствии с шаблоном Aexp(Bx+Cy+D):

1, –0.2, 0, 0

Чтобы добавить к экспоненте число 1, нажать: <Tab><+><Tab> “f2(r) –> const” <Enter> [1] <Enter> <Tab> «Ok» <Enter>

Чтобы ввести оставшуюся часть уравнения, перейти с помощью Tab на «F(r,u,t)», выбрать «F(u,r)» и нажать

«f1(r) –> Sin и Cos» [4,0.25,0,0,0,0,0,0]<Enter> <Tab> <+> <Tab>

«f2(r) –> Полином» <Enter> [1,–1,0,–1] <Enter> <Tab> <*> <Tab>

«f3(u) –> Полином» [1,1,0] <Enter> <Tab> «Ok» <Enter> <Esc>

9) Разбить область на конечные элементы: вызвать меню «Разб» (через основное меню или нажимая F8), выбрать «треугольник 1 порядка», указать номер разбиваемой зоны (первая; ввести: [1] <Enter>) и по запросу числа деления вдоль двух линий (ввести: [30] <Enter> [30] <Enter>). Аналогичные действия выполнить для второй зоны:

<F8> [2] <Enter> [30] <Enter> .

10) Проверить правильность задания уравнения и граничных условий, вызывая «Файл»  «Информация»  «Уравнение» и «Файл»  «Информация»  «Гр. условия».

11) Выйти из программы с сохранением данных по F2 (отвечая при этом на запрос <Y>).

12) Запустить appl_fem.exe, указав номер задачи (введенный в п.2), тип задачи («плоская») и тип элемента («треугольник 1 порядка»). Нажать <Esc> <Enter>.

13) Запустить difeqt.exe. После высвечивания слова «Ok» нажать <Esc>.

14) Запустить программу post2d.

15) Посмотреть картину поля, выводя эквипотенциали по F3 или через меню «Поле» (использовать шаг вывода 1, затем меняя его для большей или меньшей густоты линий уровня). Отобразить также поле градиента («Поле» ^ «Матрица стрелок»).

16) Вывести график изменения u и gradu вдоль оси x; это можно сделать через меню «График» или горячими клавишами G, Alt+G, Ctrl+G (для построения графика по узлам целесообразно предварительно отобразить узлы по Alt+P, для графика по линиям – показать линии по Alt+L). Примеры:

<G> «Потенциал» <Enter> [0,2.5,10,2.5] <Enter>

<Alt+P> <Alt+G> «Потенциал» <Enter> [1, 6] <Enter>

<Alt+L> <Ctrl+G> «Потенциал» <Enter> [4, 7] <Enter>

Выход из окна изображения графика – по Esc.

17) Сравнить найденное конечно-элементное решение с решением, полученным в какой-либо системе компьютерной математики (Mathcad, Maple, Mathematica и др.). Точные значения КЭ-решения можно вывести в виде таблицы, вызывая одноименное меню. Смысл задаваемых параметров аналогичен таковым при построении графика, кроме того, указывается число отсчетов – число точек, умещающихся на заданном отрезке (линиях), где производятся вычисления. Примеры:

«Таблица»  «По координатам»  «На экран» [0,2.5,10,2.5,15] <Enter>

«Таблица»  «По узлам»  «В файл» [1, 6, 15] <Enter>.

18) Выйти из программы post2d («Выход» или Alt+X).