2.3. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов тогда, когда представляет собой подмножество пространства R (числовой прямой), R² (плоскости), Rⁿ (n-мерного евклидова пространства).

В пространстве R в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве R² — те подмножества, которые имеют площадь, и т.д.

Под мерой (А) подмножества А будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит : в R, в R² или в R³ (Rⁿ). Будем также считать, что пространство элементарных исходов имеет конечную меру, а вероятность попадания „случайно брошенной" точки в любое подмножество пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы. В этом случае говорят, что рассматривается „геометрическая схема" или „точку наудачу бросают в область ".

Определение 2.5. Вероятностью события А называют число Р(А), равное отношению меры множества А к мере множества :

,

где — мера множества А.

Данное определение вероятности события принято называть геометрическим определением вероятности.

Заметим, что в литературе вероятность события А, определенную выше, на основе геометрической схемы, часто называют геометрической вероятностью.

Геометрическая вероятность, очевидно, сохраняет отмеченные ранее свойства вероятности Р(А) в условиях классической схемы.

Замечание 2.5. Приведенное определение геометрической вероятности с математической точки зрения не является корректным, поскольку в n-мерном пространстве существуют подмножества, не имеющие меры. Поэтому для строгости необходимо в качестве событий А рассматривать только элементы борелевской -алгебры B (см. 1.3), что, впрочем, более чем достаточно для практических потребностей.

Пример 2.9. Студент и студентка договорились встретиться в определенном месте между двенадцатью часами и часом дня. Необходимо найти вероятность встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что студент ждет студентку ровно 20 минут, а студентка студента — 5 минут.

Для решения задачи воспользуемся геометрической схемой вероятности. Обозначим момент прихода студента через х, а студентки через у. Тогда любой элементарный исход в данной задаче можно отождествить с некоторой точкой (х; у) на плоскости хОу. Выберем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения 1 минуту и построим на плоскости хОу пространство элементарных исходов . Очевидно, что это будет квадрат со стороной 60 (рис. 2.1). Событие А (студент и студентка встретятся) произойдет тогда, когда разность у - х не превысит = 20, а разность х - у не превысит = 5, т.е. условие встречи определяет систему неравенств.

Рис. 2.1

Область А элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, на рис. 2.1 заштрихована. Ее площадь S_A равна площади квадрата без двух угловых треугольников, т.е.

Тогда, согласно определению 2.5, находим

.