4.3. Дискретные случайные величины

Определение 4.3. Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Распределение дискретной случайной величины удобно

исследовать с помощью ряда распределения.

Таблица 4.1

Определение 4.4. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу (табл. 4.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в

нижней — вероятности pi = Р{Х = х_i } того, что случайная величина примет эти значения.

Чтобы подчеркнуть, ряд распределения относится именно к случайной величине X, будем наряду с обозначением р_i употреблять также обозначение px_i-Для проверки правильности составления табл. 4.1 рекомендуется просуммировать вероятности p_i. В силу аксиомы нормированности эта сумма должна быть равна единице:

Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения F(x). Пусть X — дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения Х₁, Х₂,…X_n расположены в порядке возрастания. Тогда для всех х ≤х₁ событие {X < х} является невозможным и поэтому в соответствии с определением 4.2 F(x) = 0 (рис. 4.2). Если х₁ < х ≤ x_2,

Рис. 4.2

событие {X < х} состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х(ω) = x₁ и, следовательно,

F(x)=p_1.

Аналогично при x₂ < х≤ х₃ событие {X < х} состоит из элементарных исходов ω, для которых либо X(ω) = x₁, либо X(ω)=x₂, т.е.

{X <х} = {Х = х₁} + {Х = х₂},

а следовательно,

F(x) =p₁+p₂

и т.д. Наконец, при х > х_п событие {X < х} достоверно и

F(x) = 1.

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на промежутке (-∞,x₁] значение 0, на промежутках[_i,x_i +1], 1≤ i < n, — значение р₁ +… +p_i и на промежутке (x_n,+∞) — значение 1.

Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости (см. пример 4.1) описывают формулой

P{X=i}=1/6, i= .

Графическое изображение этого распределения приведено на рис. 4.3.

Рис. 4.3

4.4. Некоторые дискретные случайные величины

В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения дискретных случайных величин.

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0,1, 2,..., n в соответствии с распреде­лением, заданным формулой

Р{Х = i}=P_n (i)= , i= или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в табл. 4.2, где 0<р, q<1и р + q = 1.

Таблица 4. 2

Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно,

Р_n(i)>0

Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа успехов X в п испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и неудачи q= 1- р.

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

или, по-другому,с вероятностями, представленными рядом распределения в табл.4.3, где λ >0-параметр распределения Пуассона

Таблица 4.3

Проверка корректности определения распределения Пуассона дает:

С распределением Пуассона мы тоже уже встречались в формуле Пуассона (см. 3.6). Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда Появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит „редкое" событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распад вещества.

Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X — число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда X — дискретная случайная величина, принимающая значения 0,1, 2,...,n,... Определим вероятность события {X =n}. Очевидно, что X = О, если в первом же испытании произойдет успех. Поэтому

Р{Х = 0}=р.

Далее, X = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором — успех. Но вероятность такого события (см. теорему 3.8), равна qp, т.е.

Р{Х = 1} = qp.

Аналогично X = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем — успех, и, значит,

P{X = 2} = qqp.

Продолжая эту процедуру, получаем

P{X = i} = pqⁱ i = 0,1,...

Таким образом, случайная величина X имеет ряд распределе­ния, представленный в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону. Правильность составления табл. 4.4 вытекает из равенства