4.6. Некоторые непрерывные случайные величины

Приведем примеры некоторых наиболее важных распределений непрерывных случайных величин. То, что приводимые функции F(x) являются функциями распределения, следует из замечания 4.1 и проверяться не будет.

Равномерное распределение. Случайная величина име­ет равномерное распределение на отрезке [а, b], если ее плотность распределения

Легко видеть, что функция распределения в этом случае определяется выражением

Графики плотности распределения р(х) и функции распределения F(x) приведены на рис. 4.6 и 4.7.

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал ж₂)> лежащий внутри отрезка [а,b], равна F(x₂) - F(x₁) = (b– a), т.е. пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [а, b].

Экспоненциальное распределение. Случайная величина распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет плотность распределения

где λ > 0 — параметр экспоненциального распределения. Для Функции распределения в данном случае нетрудно получить бедующее выражение:

Графики плотности распределения и функции распределения экспоненциально распределенной случайной величины при­ведены на рис. 4.8 и 4.9.

Рис. 4.8

Рис.4.9

Экспоненциально распределенная случайная величина может принимать только положительные значения.

Примером случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, является время распада радиоактивных элементов. При этом число

называют средним временем распада. Кроме того, употребля­ют также число

,называемое периодом полураспада.

Название „период полураспада" основано на следующем физическом соображении. Пусть у нас первоначально имелось п атомов вещества. Тогда спустя время T₀ каждый атом распадется с вероятностью

Поэтому в силу независимости отдельных распадов число распавшихся за время T₀ атомов имеет биномиальное распределение с р = q = 1/2. Но, как мы увидим далее, согласно закону больших чисел, при больших п это число будет примеру но равно n/2, т.е. период полураспада T₀ представляет собой _Бремя, в течение которого распадается половина имеющегося вещества.

Экспоненциально распределенная случайная величина X обладает весьма важным свойством, которое естественно назвать отсутствием последействия. Трактуя X как время распада атома, рассмотрим событие А = {х_г <Х <х₁+х₂},

найдем условную вероятность этого события при условии выполнения события В = {X > х_г}. В соответствии с определе­нием условной вероятности

Но событие АВ, как нетрудно понять, совпадает с событием А. Поэтому

Далее, используя свойство 4 функции распределения

(см. теорему 4.1), имеем:

Значит,

Таким образом, вероятность распада атома за время х₂ при Уровни, что перед этим он уже прожил время х₁ совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого атома за время x₂. Именно это свойство и представляет собой отсутствие последействия. Допуская некоторую вольность речи, отсутствие последействия можно трактовать как независимость остаточного времени жизни атома от того времени, которое он уже прожил. Можно показать и обратное: если случайная величина X обладает свойством отсутствия последействия, то она обязательно должна быть распределена по экспоненциальному закону. Таким образом, отсутствие последействия является характеристическим свойством экспоненциально распределенных случайных величин.

Практика показывает, что экспоненциальное распределение имеют и другие физические величины, например: времена между падениями метеоритов в определенный район, времена между соседними поступлениями вызовов на телефонную станцию и т.д. Экспоненциальное распределение тесно связано с распределением Пуассона, а именно: если времена между последовательными наступлениями некоторого события представляют собой независимые экспоненциально распределенные (с одним и тем же параметром А) случайные величины, то число наступлений этого события за время t распределено по закону Пуассона с параметром Xt. Отметим также, что дискретным аналогом экспоненциального распределения является геометрическое распределение.

Нормальное распределение. Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность

Нормальное распределение зависит от двух параметров: m, называемого математическим ожиданием или средним значением, и σ, называемого средним квадратичным отклонением.

Графики плотности φ_m,σ(х) и функции

нормального распределения для различных значении m и σ приведены на рис. 4.10 и рис. 4.11.

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Как следует из этих рисунков, параметр га определяет положение „центра симметрии" плотности нормального распределения, т.е. график плотности нормального распределения симметричен относительно прямой х = m, а σ — разброс значений случайной величины относительно центра симметрии. Если m= 0 и σ = 1, то такой нормальный закон называют стандартным и его функцию распределения обозначают Ф(x),а плотность распределения — φ(x). С плотностью и Функцией стандартного нормального распределения мы уже встречались в локальной и интегральной формулах Муавра — Лапласа (см. 3.6). Как известно из курса математического анализа, интеграл не может быть выражен через элементарные функции. Поэтому во всех справочниках и в большинстве учебников по теории вероятностей приведены таблицы значений функции стандартного нормального распределения, помним, что в табл.3 даны значения интеграла Лапласа

Ф₀(х) — (y)dy. Покажем, как, используя эту таблицу, найти вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону с произвольными параметрами m и σ в интервал (а, b).

В соответствии со свойством 2 плотности распределения (см. теорему 4.2) вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m и σ, в интервал (а, 6) задается формулой

Проводя замену х = (у — m)/σ, этот интеграл можно записать в виде

Таким образом, окончательно получаем

(4.3)

Распределение Вейбулла. Случайная величина распреде­лена по закону Вейбулла, если она имеет плотность распре­деления

Нетрудно проверить, что функция распределения в этом случае определяется следующим выражением:

Семейство распределений Вейбулла является двухпараметрическим (α, β — параметры) и описывает положительные случайные величины.

Графики плотности р(х) и функции F(x) распределения Вейбулла представлены на рис. 4.12 и 4.13.

Рис. 4.12

Рис.4.13

Считают, что распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. Если β=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненци­альное распределение, а если β = 2 — в так называемое рапределение Релея (закон Релея).

Гамма-распределение. Другим распределением, также достаточно хорошо описывающим времена безотказной работы различных технических устройств, является гамма-распределение с плотностью

Где

есть гамма-функция Эйлера . При изучении гамма-распределения весьма полезными являются следующие свойства гамма-функции: Г(γ +1) = γГ(γ) и Г(n) = (п -1)! для целых п .

Графики плотности р(х) и функции F(x) гамма-распределения изображены на рис. 4.14 и 4.15.

Рис. 4.14

Рис. 4.15

Как видно на рис. 4.12-4.15, распределение Вейбулла и гамма-распределение весьма близки между собой. Основным преимуществом закона Вейбулла перед гамма-распределением является то, что его функция распределения является элементарной функцией. Поэтому раньше, когда ЭВМ еще не были достаточно распространены, распределение Вейбулла использовалось гораздо чаще, чем гамма-распределение. Хотя в общем случае гамма-распределение и не является элементарной функцией, гамма-распределение обладает некоторыми весьма полезными свойствами. Так, если γ =k т.е. γ принимает целые значения, то мы получаем распределение Эрланга порядка k находящее важные применения в теории массового обслуживания. Если же γ = k/2, где k — нечетное число, а λ = ½, то гамма-распределение превращается в так называемое распределение χ² (хи-квадрат), роль которого в математическое статистике невозможно переоценить. Параметр k называют в этом случае числом степеней свободы распределения χ²,а само распределение — распределением χ² (хи-квадрат) с k степенями свободы. Наконец, при γ = 1 мы имеем дело все с тем же экспоненциальным распределением. Гамма-распределение обладает и другими интересными свойствами, которые мы здесь не будем рассматривать.