4.2. Функция распределения случайной величины

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей, или распределением (вероятностей) случайной величины. При этом слово „вероятностей" обычно опускают.

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Определение 4.2. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события {X < х}, т.е.события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х(ω) < х:

F(x) = Р{Х < х}.

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х.

Теорема 4.1. Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1. 0 F(x) 1.

2. F(x₁) F(x₂) при x₁ x₂ (F(x) – неубывающая функция).

3. ,

4. .

5. F(x)=F(x-0), где F(x-0)= ( F(x) – непрерывная

слева функция).

При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, доказанные в теореме 2.8.

Поскольку значение функции распределения в любой точке х является вероятностью, то из свойства 4 вероятности вытекает Утверждение 1.

Если х₁ < х₂, то событие {X< ) включено в событие

{X <x₂} и, согласно свойству 3, Р{Х < х₁} < Р{Х < х₂}, т.е. в соответствии с определением 4.2 выполнено утверждение 2.

Пусть x₁, ..., х_п, ... — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +∞. Событие {X < +∞}, с одной стороны, является достоверным, ас другой стороны, представит собой объединение событий {X < х_п}. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утверждении 3. Аналогично доказывают и первое равенство.

Событие {X < х₂} при х₁ < х₂ представляет собой объединение двух непересекающихся событий: {X < х₁} случайная величина X приняла значение, меньшее х₁, и {х₁ ≤ X < х₂} случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x₁,x₂] Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4.

Наконец, пусть х₁,...,х_п,... - любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие {X <х}является объединением событий {X < х_п}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5.

На рис. 4.1 приведен типичный вид функции распределения.

Рис. 4.1

Замечание 4.1. Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция F(x), удовлетворяющая условиям

F(-∞) =0 и F(+∞) = l,

является функцией распределения некоторой случайной величины X.

Для того чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения F(x), далее иногда будем приписывать этой функции нижний индекс, обозначающий конкретную случайную величину. Например, для случайной величины X

F_x(x) = P{X<x}.

В некоторых учебниках функцией распределения называют функцию, значение которой в точке х равно вероятности события {X≤x }. Такое определение ничего не меняет во всех наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция F(x) будет непрерывна справа.

Чтобы избежать сложных математических конструкций, обычно при первоначальном изучении теории вероятностей ограничиваются только дискретными и непрерывными случайными величинами. Не давая пока строгие определения, приведем примеры:

- дискретных случайных величин (число очков, выпавших при бросании игральной кости; число бросаний монеты до первого появления „герба"; оценка студента на экзамене и т. д.);

- непрерывных случайных величин (погрешность измерений; время до отказа прибора; время опоздания студента на лекцию и т. п).