6. Числовые характеристики случайных величин

Из результатов предыдущих глав следует, что вероятности любых событий, связанных с каждой случайной величиной (в том числе многомерной), полностью определяются ее законом распределения, причем закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать в виде ряда распределения, а непрерывной — в виде плотности распределения.

Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случайной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами. Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей главе. Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, задающее „центральное” значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая „разброс” значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

6.1. Математическое ожидание случайной величины

Как уже отмечалось выше, наиболее употребляемой на практике числовой характеристикой является математическое ожидание, или, по-другому, среднее значение случайной величины.

Определение 6.1. Математическим ожиданием

(средним значением) MX дискретной случайной величины X называют сумму произведений значений случайной величины и вероятностей , с которыми случайная величина принимает эти значения: M(X) = . При этом, если множество возможных значений случайной величины X счетно, предполагается, что

_,

т.е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины X не существует.

Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами и пусть — координата i-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату

,

совпадающую с математическим ожиданием M(X) случайной величины X.

Пример 6.1. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона. Тогда

.

Определение 6.2. Математическим ожиданием (средним значением) M(X) непрерывной случайной величины называют интеграл

.

При этом предполагается, что

,

т.е. несобственный интеграл, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно.

Заметим, что определение 6.2 является естественным обобщением определения 6.1, так как для непрерывной случайной величины с плотностью распределения

.

Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке х равна .

Пример 6.2. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке

[а, b] случайной величины X. Поскольку в этом случае = 0 при х < а и х > b, то

.

Как и следовало ожидать, M(X) совпадает с серединой [а,b].

6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания

Определим математическое ожидание функцией случайной величины. И так, пусть y=y(x) – является функцией случайной величины.

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, принимающую значения . Тогда случайная величина Y = Y(X), как мы уже знаем, принимает значения с вероятностями

и ее математическое ожидание определяется формулой

. (6.1)

Если же величина X принимает счетное число значений, то математическое ожидание Y определяется формулой , (6.2)

Но при этом для существования математического ожидания требуется абсолютная сходимость соответствующего ряда, т.е. выполнение условия

. (6.3)

Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения , математическое ожидание случайной величины Y = Y(X) можно найти, используя аналогичную формулу

, (6.4)

причем и здесь требуется выполнение условия

.

В дальнейшем, чтобы каждый раз не оговаривать условие существовании математического ожидания, будем предполагать, что соответствующие сумма или интеграл сходятся абсолютно.

Аналогично можно вычислить математическое ожидание функции от многомерной случайной величины. Так, математическое ожидание M(Y) функции от дискретной двумерной случайной величины можно найти, воспользовавшись формулой

,

где , а функции от двумерной непрерывной случайной величины — формулой

, (6.5)

где — совместная плотность распределения случайных величин и .

Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания.

Теорема 6.1. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам.

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то М(С) = С.

2. М(аХ + b) = аМ(Х )+ 6, где а, b — постоянные.

3. М( + ) = М( ) + М( ).

4. для независимых случайных величин и

Очевидно также, что свойство 3 можно обобщить на случай произвольного числа слагаемых, т.е.

.

Замечание 6.3. Свойство 4 также допускает обобщение на произведение конечного числа независисмых (в совокупности) случайных величин:

.