8. Предельные теоремы теории вероятностей

С самого начала изучения курса теории вероятностей мы говорили о том, что практическое применение методов этой математической дисциплины основывается на законе предельного постоянства частоты события, установленном эмпирически. Согласно этому закону, если один и тот же опыт повторяется многократно, то частота появления конкретного случайного события теряет свойства случайности и приближается к некоторому пределу, который в соответствии со статистическим определением вероятности и называют вероятностью. Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при аксиоматическом определении вероятности, которое мы использовали, этот закон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически. Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в виде одной или нескольких теорем. В теории вероятностей теоремы такого типа обычно называют различными формами закона больших чисел. В настоящей главе мы докажем некоторые формы этого закона, которые, в частности, поясняют смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением.

1. Сходимость последовательности случайных величин

Пусть представляет собой последовательность случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве. Опишем типы сходимости последовательности к некоторой случайной величине X.

Сразу же отметим, что естественно все определения сходимости вводить таким образом, чтобы сходимость последовательности случайных величин к случайной величине X была эквивалентна сходимости последовательности

случайных величин к нулю, т.е. к случайной величине, принимающей всего одно значение 0. Поэтому далее мы будем говорить только о сходимости последовательности к нулю. Поскольку каждая из случайных величин представляет собой функцию, заданную на пространстве элементарных исходов , и существуют разные определения сходимости функций, то можно ввести и различные определения сходимости последовательности случайных величин.

Определение 8.1. Если последовательность случайных величин удовлетворяет условию Р(A) = 1, то говорят о сходимости этой последовательности с вероятностью 1, или почти наверное.

Сходимость к нулю с вероятностью 1 записывается в виде

.

В дальнейшем мы в основном будем использовать сходимость по вероятности.

Определение 8.2. Если последовательность случайных величин для любого > 0 удовлетворяет условию

,

то говорят о сходимости этой последовательности по вероятности. Сходимость к нулю по вероятности записывается в виде

.

Смысл сходимости по вероятности заключается в том, что вероятность нарушения неравенства при увеличении п становится сколь угодно малой.

Наконец, во многих приложениях теории вероятностей важную роль играет сходимость в среднем квадратичном.

Определение 8.3. Если последовательность случайных величин удовлетворяет условию

, то говорят о сходимости этой последовательности в среднем квадратичном. Сходимость к нулю в среднем квадратичном записывается в виде

.