- •Справочник магнитного диска (Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)
- •Введение
- •1. Случайные события
- •1.1. Пространство элементарных исходов
- •1.2. События, действия над ними
- •1.3. Сигма-алгебра событий
- •1.4. Решение типовых примеров
- •2. Вероятность
- •2.1. Классическое определение вероятности
- •2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
- •2.3. Геометрическое определение вероятности
- •2.4. Статистическое определение вероятности
- •2.5. Аксиоматическое определение вероятности
- •2.6. Решение типовых примеров
- •Вопросы и задачи
- •3. Условная вероятность. Схема Бернулли
- •3.1. Определение условной вероятности
- •3.2. Формула умножения вероятностей
- •3.3. Независимые и зависимые события
- •3.4. Формула полной вероятности
- •3.5. Формула Байеса
- •3.6. Схема Бернулли
- •3.7. Решение типовых примеров
- •4. Одномерные случайные величины
- •4.1. Определение случайной величины
- •4.2. Функция распределения случайной величины
- •4.3. Дискретные случайные величины
- •4.4. Некоторые дискретные случайные величины
- •4.5. Непрерывные случайные величины
- •4.6. Некоторые непрерывные случайные величины
- •4.7. Решение типовых примеров
- •5. Многомерные случайные величины
- •5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения
- •5.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •5.3. Непрерывные случайные величины
- •5.4. Независимые случайные величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины
- •6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания
- •6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
- •6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин
- •6.5. Решение типовых примеров
- •7. Условные характеристики случайных величин
- •Условные распределения
- •7.2. Условные числовые характеристики
- •8. Предельные теоремы теории вероятностей
- •Сходимость последовательности случайных величин
- •8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел
- •9. Элементы математической статистики
- •9.1. Выборочный метод. Основные понятия
- •9.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма
- •9.3. Эмпирическая функция распределения
- •9.4 Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности , состоятельности и эффективности оценки
- •9.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
- •9.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Эмпирическая дисперсия
- •9.7. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •10. Математическая обработка результатов наблюдений
- •10. 1. Измерения и их погрешности. Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений
- •10. 2. Оценка точного значения измеряемой величины
- •Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.
- •10.3. Оценки точности измерений
- •Доверительные оценки средней квадратической погрешности.
- •10.4. Метод наименьших квадратов
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия
- •Доверительный интервал для коэффициентов
- •Библиографический список
- •ОгЛавление
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины 159
- •10.3. Оценки точности измерений 215
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
3.4. Формула полной вероятности
Предположим, что в результате опыта может произойти одно из п событий , которые удовлетворяют следующим двум условиям:
1) они являются попарно несовместными, т.е.
при i j;
2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объединение есть достоверное событие, т.е.
.
Определение 3.5. События удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гипотезами.
Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух указанных требований, то их совокупность называют полной группой событий. Таким образом, гипотезы — это попарно несовместные события, образующие полную группу событий.
Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятности гипотез , которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности события А при выполнении этих гипотез. Задача состоит в вычислении безусловной вероятности события А. Для решения этой задачи используют следующую теорему.
Теорема 3.6. Пусть для некоторого события А и гипотез известны , которые положительны, и
. (3.4)
Тогда безусловную вероятность Р(А) определяют по формуле
, (3.5)
которую называют формулой полной вероятности.
Представим событие А в виде
(на рис. 3.2, область, соответствующая событию А, заштрихована) .
С учетом того, что события несовместны, имеем
P(A) = .
В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем
.
Поэтому
.
Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теории вероятностей.
Пример 3.7. Путник должен попасть из пункта В в пункт А в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 3.3. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятность события А — достижения путником намеченной цели.
Рис.3.2
Для того чтобы попасть в пункт А, путник должен пройти один из промежуточных пунктов или . Введем гипотезы , где означает, что путник выбрал в пункте В путь, ведущий в пункт , i = 1,2,3. Ясно, что события несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из B в
.
Остается вычислить условные вероятности , которые легко найти, если рассматривать новое пространство элементарных исходов, соответствующее выбранной гипотезе .
Например, появление означает, что есть два равновозможных исхода (из пункта выходят две дороги), из которых лишь один благоприятствует событию А, т.е. .
Аналогично находим, что
Согласно формуле 3.5 полной вероятности, получаем
.
Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог — это сеть каналов передачи информации, а Р(А) — вероятность передачи сообщения по такой сети.
Рис. 3.3
Пример 3.8. Студент выучил все N = 30 экзаменационных билетов, но из них на „пять” — лишь = 6. Определим, зависит или нет вероятность извлечения „счастливого" билета (событие А) от того, первым или вторым выбирает студент свой билет.
Рассмотрим две ситуации.
Студент выбирает билет первым. Тогда
.
Студент выбирает билет вторым. Введем гипотезы: — первый извлеченный билет оказался „счастливым”, — „несчастливым”. Ясно, что
В силу формулы (3.5) полной вероятности
,
что совпадает с первой ситуацией.