8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел
Прежде чем приступить к рассмотрению закона больших чисел, рассмотрим два неравенства Чебышева. Заметим, что неравенства Чебышева представляют и самостоятельный интерес, поскольку в современной теории вероятностей широко используются неравенства такого типа.
Теорема 8.1. Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X), при любом > 0 справедливо соотношение
,
называемое
первым
неравенством Чебышева.
Пример
8.1.
Пусть
X
—
время опоздания студента на лекцию,
причем известно, что M(X)
=
1 мин. Воспользовавшись первым неравенством
Чебышева, оценим вероятность
того, что студент опоздает не менее, чем
на 5 мин. Имеем
.
Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е. в среднем из каждых пяти студентов опаздывает, по крайней мере, на 5 мин не более чем один студент.
Теорема
8.2. Для
каждой случайной величины Х,
имеющей дисперсию
,
при любом
> 0
справедливо второе
неравенство Чебышева
.
Пример
8.2. Пусть
в условиях предыдущего примера известно
дополнительно, что
.
Оценим минимальное значение
,
при котором вероятность опоздания
студента на время не менее
не превышает заданного значения
=
0,1.
Для решения поставленной задачи воспользуемся вторым неравенством Чебышева. Тогда
.
Значит,
.
Подставляя конкретные значения, имеем
.
Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1.Сравнивая полученный результат с результатом примера 8.1, видим, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности.
Определение 8.5. Последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого > 0
.
Иными
словами, выполнение закона больших
чисел отражает предельную устойчивость
средних арифметических случайных
величин: при большом числе испытаний
они практически перестают быть случайными
и совпадают со своими средними значениями.
Очевидно, что последовательность
удовлетворяет закону больших чисел
тогда и только тогда, когда среднее
арифметическое случайных величин
сходится
по вероятности к нулю при
.
Теорема
8.3.
Если последовательность
независимых
случайных величин такова,
что существуют
и
,
причем дисперсии
ограничены
в совокупности (т.е.
),
то для последовательности
выполнен закон больших чисел. При этом
говорят также, что к последовательности
случайных величин применим закон
больших чисел в форме Чебышева.
Следствие
8.1. Если
случайные величины
,
i=
1,2,..., в условиях теоремы 8.3 являются
также одинаково распределенными (в этом
случае
и
),
то последовательность
случайных величин удовлетворяет закону
больших чисел в следующей форме:
.
Теорема 8.4. Пусть проводится п испытаний по схеме Бернулли и Yn — общее число успехов в п испытаниях. Тогда наблюденная частота успехов
сходится по вероятности к вероятности р успеха в одном испытании, т.е. для любого > 0
.
Обозначим число успехов в i-м испытании Бернулли. Тогда частоту успехов в п испытаниях можно определить в виде
,
причем M
=р и
D
= pq.
Значит, выполняются все условия следствия 8.1, из которого вытекает утверждение теоремы. Теорему 8.4 называют также теоремой Бернулли, или законом больших чисел в форме Бернулли. Из хода доказательства теоремы 9.4 видно, что закон больших чисел в форме Бернулли является частным случаем закона больших чисел в форме Чебышев.