2. Вероятность

Говоря о событиях, мы с различной степенью уверенности относимся к возможности их наступления. Так, с большей уверенностью можно утверждать, что при однократном подбрасывании монеты выпадет „герб", чем при однократном бросании игральной кости — 6 очков. Говорят, что первое событие более вероятно, чем второе.

Что же такое вероятность события? Напрашивается каждому событию А поставить в соответствие число Р(А), которое будет являться мерой возможности его появления. Если принять P( ) = 1, а Р( ) = 0 (хотя можно было взять другую единицу измерения), то тогда для любого события А естественно ожидать, что .

Определение вероятности как меры возможности появления события в современной математике вводится на основании аксиом. Но, прежде чем перейти к аксиоматическому определению, остановимся на нескольких других определениях, которые исторически возникли раньше. Они, с одной стороны, позволяют лучше понять смысл аксиоматического определения, а с другой — во многих случаях являются рабочим инструментом для решения практических задач. Приведем их, следуя хроно­логическому порядку появления.

2.1. Классическое определение вероятности

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных исходов содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновозможности поясним следующим образом.

Элементарные исходы в некотором опыте называют равновозможными, если в силу условий проведения опыта можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также „ классической схемой".

Пусть N — общее число равновозможных элементарных исходов в , a — число элементарных исходов, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А.

Определение 2.1. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу N равновозможных элементарных исходов, т.е.

.

Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Заметим, что наряду с названием „классическая схема" используют также названия „случайный выбор", „равновероятный выбор" и т.д.

Пример 2.1. Из урны, содержащей k = 10 белых и l = 20 черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. Требуется найти вероятность Р(А) события А, заключающегося в том, что из урны извлечен белый шар.

Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне

N = k+l = 30,

причем все исходы равновозможны, а число благоприятствующих событию А исходов

= k = 10.

Поэтому в соответствии с определением классической вероятности ,

_.

Используя классическое определение вероятности события, докажем следующие свойства.

Свойство 2.1. Для любого события А вероятность удовлетворяет неравенству

.

Свойство очевидно, так как отношение /N не может быть отрицательным.

Свойство 2.2. Для достоверного события (которое содержит все N элементарных исходов)

P( ) = 1.

Свойство 2.3. Если события А и В несовместны (АВ = ), то

Р(А + В) = Р(А)+Р(В).

Действительно, если событию А благоприятствуют исходов, а событию В — N₂ исходов, то в силу несовместности А и В событию А + В благоприятствуют + N₂ исходов. Следовательно,

.

Оказывается, что эти три свойства являются основными. Из них как следствия можно получить другие полезные свойства (подробнее они будут рассмотрены ниже), например:

; ;

, если .

Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные.