3.2. Формула умножения вероятностей
При
решении различных задач вероятностного
характера часто интересующее нас событие
А можно
достаточно просто выразить через
некоторые события
с помощью операций
объединения
или
пересечения.
Если
,
то для нахождения вероятности Р(А) события А обычно удобно использовать следующую теорему.
Теорема 3.2 (теорема умножения вероятностей).
Пусть
событие
(т.е. А — пересечение событий и Р(А) > 0). Тогда справедливо равенство
,
называемое формулой
умножения вероятностей.
Поскольку Р(А) = P( ) > 0, а
,
то
и Р(А).=
P(
)
>
0. Учитывая это неравенство, согласно
определению 3.1 условной
вероятности,
имеем
Умножая
обе части этого равенства на
,
получаем
Аналогично находим
.
Тогда
Продолжая
эту процедуру, получаем формулу умножения
вероятностей.
Замечание 3.1. Из свойства коммутативности пересечения событий следует, что правая часть формулы умножения для пересечения одних и тех же событий может быть записана по-разному. Например, как
так
и в виде
.
Обычно выбирают тот вариант формулы, который приводит к более простым вычислениям.
Пример 3.4. На семи карточках написаны буквы, образующие слово „СОЛОВЕЙ”. Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найдем вероятность того, что получится слово „ВОЛ” (событие А).
Введем события: — на первой выбранной карточке написана буква „В”; — на второй карточке — буква „О”; — на третьей карточке — буква „Л”. Тогда событие А есть пересечение событий , и . Следовательно, в соответствии с формулой умножения вероятностей
Согласно классическому определению 2.1 вероятности, имеем
Если событие произошло, то на шести оставшихся карточках буква „О” встречается два раза, поэтому условная вероятность
Аналогично
определяем
Окончательно получаем
3.3. Независимые и зависимые события
Из рассмотренных выше примеров видно, что условная вероятность Р(А|В) события А при условии, что событие В произошло, может как совпадать с безусловной вероятностью Р(А), так и не совпадать, т.е. наступление события В может влиять или не влиять на вероятность события А. Поэтому естественно степень связи (или степень зависимости) событий А и В оценивать путем сопоставления их условных вероятностей Р(А|В), Р(В|А) с безусловными.
Определение 3.2. События А и В, имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность А при условии В совпадает с безусловной вероятностью А или если условная вероятность В при условии А совпадает с безусловной вероятностью В, т.е.
Р(А|В) = Р(А) (3.2)
или
Р(В|А) = Р(В) (3.3)
в противном случае события А и В называют зависимыми.
Теорема 3.3. События А и В, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
Пусть выполнено равенство (3.3). Воспользовавшись формулой умножения вероятностей для двух событий, получим Р(АВ) = Р(А)Р(В|А) = Р(А)Р(В).
К аналогичному выводу приходим и в случае выполнения равенства (3.2), т.е. из условия независимости событий следует (3.4).
Обратно, пусть выполнено равенство (3.4). Тогда, согласно определению 3.1 условной вероятности,
,
т.е. в силу определения 3.2 события А и В независимы.
Таким образом, в качестве эквивалентного определения независимости двух событий, имеющих ненулевую вероятность, может служить следующее определение.
Определение 3.3. События А и В называют независимыми, если выполняется равенство (3.4).
Отметим, что последним определением можно пользоваться даже в том случае, когда вероятности событий А или В равны нулю.
Замечание 3.2. Из теоремы 3.3 следует, что если в определении 3.2 независимости выполняется одно из равенств (3.2) или (3.3), то выполняется автоматически и другое, т.е. в определении 3.2 достаточно потребовать выполнения любого одного из них.
Пример 3.5. Из колоды карт, содержащей п = 36 карт, наугад извлекают одну карту. Обозначим через А событие, соответствующее тому, что извлеченная карта будет пиковой масти, а В — событие, соответствующее появлению „дамы". Определим, являются ли зависимыми события А и В. После вычислений получаем
т.е. события А и В независимы. Как отмечалось в замечании 3.2, имеет место и равенство
.
Следовательно, события А и В независимы.
Изменим теперь условия опыта, дополнительно добавив в колоду, допустим, N = 100 „пустых” карт (без рисунка). Изменится ли ответ? Имеем
т.е. безусловная вероятность события В уменьшилась. Однако условная вероятность
не изменилась, т.е события А и В стали зависимыми.
Теорема 3.4, Если события А и В независимые, то независимыми также являются пары событий и В, А и , и , если вероятности соответствующих событий ненулевые.
В силу теоремы 3.1 и независимости событий А и В имеем:
Р( |В) = 1 - Р(A|В) = 1 - Р(А) = Р( ),
что означает независимость событий и B. Независимость остальных пар событий можно доказать аналогично.
Определение
3.4. События
называют
независимыми
в совокупности, если
вероятность пересечения
любых
двух различных событий
равна
произведению вероятностей этих событий;
вероятность пересечения любых трех
событий равна произведению их вероятностей;
вероятность пересечения всех событий
равна произведению их вероятностей.
Для событий независимых в совокупности, имеет место утверждение, аналогичное утверждению теоремы 3.4.
Теорема
3.5. Если
события
независимы в совокупности, то и события
независимы
в совокупности.
Если только любые два события из данной совокупности являются независимыми, то говорят о попарной независимости событий из этой совокупности.
Так же как и в случае двух событий, можно показать, что на вероятность каждого из независимых в совокупности событий не оказывает влияние появление или непоявление остальных событий.
Замечание 3.3. В силу определения независимости событий в совокупности формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид
.
Из независимости событий с ненулевыми вероятностями в совокупности, согласно теореме 3.3, следует их попарная независимость. Однако из попарной независимости, вообще говоря, независимость в совокупности не следует, что демонстрирует следующий пример.
Пример 3.6. Опыт состоит в однократном подбрасывании тетраэдра, грани которого „пронумерованы" следующим образом: на трех гранях стоят цифры 1, 2 и 3 соответственно (одна цифра на каждой из них), а на четвертой присутствуют все цифры 1, 2 и 3.
Введем
события
— падение тетраэдра на грань, на которой
присутствует цифра i,
i
=
.
Покажем, что события
,
и
попарно
независимы, но зависимы в совокупности.
Согласно классическому определению вероятности, получаем
i
=
,
.
Аналогично
при любых i, j = , i j, т.е. события , и являются попарно независимыми. Однако, например,
,
т.е. события , и зависимы в совокупности.
Заметим,
что, когда говорят о независимости
событий
,
подразумевают именно независимость
событий в совокупности, в отличие от
попарной независимости событий
.
Запишем формулу для вероятности объединения независимых событий. Пусть
.
Тогда в соответствии с законом де Моргана
.
Если
события
независимые,
то, согласно теореме 3.5, события
также
независимые и, значит,
.
Отсюда окончательно получаем формулу для вероятности объединения независимых событий:
.
Замечание 3.4. (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеется следующая связь:
1) если А и В — несовместные события (и Р(А) 0, и Р(В) 0), то они обязательно зависимые (убедитесь самостоятельно) ;
2) если А и В — совместные события, то они могут быть и зависимыми и независимыми;
3) если А и В — зависимые события, то они могут быть и совместными и несовместными.
Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения — независимость событий.
В заключение отметим, что понятие независимости является очень важным в теории вероятностей. При этом следует различать формальное понятие независимости событий, определяемое свойствами вероятностной модели, и понятие независимости событий, возникающее в прикладных задачах и означающее, что события не связаны причинно. При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но это может быть не всегда.