- •Справочник магнитного диска (Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)
- •Введение
- •1. Случайные события
- •1.1. Пространство элементарных исходов
- •1.2. События, действия над ними
- •1.3. Сигма-алгебра событий
- •1.4. Решение типовых примеров
- •2. Вероятность
- •2.1. Классическое определение вероятности
- •2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
- •2.3. Геометрическое определение вероятности
- •2.4. Статистическое определение вероятности
- •2.5. Аксиоматическое определение вероятности
- •2.6. Решение типовых примеров
- •Вопросы и задачи
- •3. Условная вероятность. Схема Бернулли
- •3.1. Определение условной вероятности
- •3.2. Формула умножения вероятностей
- •3.3. Независимые и зависимые события
- •3.4. Формула полной вероятности
- •3.5. Формула Байеса
- •3.6. Схема Бернулли
- •3.7. Решение типовых примеров
- •4. Одномерные случайные величины
- •4.1. Определение случайной величины
- •4.2. Функция распределения случайной величины
- •4.3. Дискретные случайные величины
- •4.4. Некоторые дискретные случайные величины
- •4.5. Непрерывные случайные величины
- •4.6. Некоторые непрерывные случайные величины
- •4.7. Решение типовых примеров
- •5. Многомерные случайные величины
- •5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения
- •5.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •5.3. Непрерывные случайные величины
- •5.4. Независимые случайные величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины
- •6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания
- •6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
- •6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин
- •6.5. Решение типовых примеров
- •7. Условные характеристики случайных величин
- •Условные распределения
- •7.2. Условные числовые характеристики
- •8. Предельные теоремы теории вероятностей
- •Сходимость последовательности случайных величин
- •8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел
- •9. Элементы математической статистики
- •9.1. Выборочный метод. Основные понятия
- •9.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма
- •9.3. Эмпирическая функция распределения
- •9.4 Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности , состоятельности и эффективности оценки
- •9.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
- •9.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Эмпирическая дисперсия
- •9.7. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •10. Математическая обработка результатов наблюдений
- •10. 1. Измерения и их погрешности. Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений
- •10. 2. Оценка точного значения измеряемой величины
- •Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.
- •10.3. Оценки точности измерений
- •Доверительные оценки средней квадратической погрешности.
- •10.4. Метод наименьших квадратов
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия
- •Доверительный интервал для коэффициентов
- •Библиографический список
- •ОгЛавление
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины 159
- •10.3. Оценки точности измерений 215
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
1. Случайные события
Любая современная математическая дисциплина основывается на некоторых исходных понятиях (аксиомах). В теории вероятностей такой аксиоматический подход был введен сравнительно недавно (в 30-х гг.) А.Н. Колмогоровым.
Аксиомы, лежащие в основе этого подхода, отражают и обобщают те свойства понятия вероятности случайных событий, которые использовались на интуитивном уровне с давних времен — с момента зарождения теории вероятностей как теории „азартных игр".
В этой и следующих главах будет показано, что основные понятия и аксиомы теории вероятностей представляют собой математические отражения понятий, хорошо известных любому человеку, наблюдавшему опыты со случайными исходами. Одним из таких понятий является пространство элементарных исходов, введение которого позволяет при решении конкретных практических задач оперировать общим для современной математики аппаратом теории множеств.
1.1. Пространство элементарных исходов
Определение 1.1. Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.
Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:
- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;
- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;
- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.
В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой , а сами элементарные исходы — строчной буквой , снабженной, при необходимости, индексами. То, что элемент принадлежит , записывают в виде , а тот факт, что множество состоит из элементов и только из них, записывают в виде
или в виде
В частности, может содержать конечное число элементарных исходов.
Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.
Пример 1.1. Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением „герба” (можно обозначить этот исход Г, или ) и выпадением „ цифры”
(Ц, или ). Таким образом, или .
При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно, содержать 4 элемента, т.е.
,
где — появление „герба” и при первом, и при втором подбрасываниях, и т.д.
Пример 1.2. При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарных исходов где , i = , означает появление i очков на верхней грани кости, т.е. .
При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.
,
где — исход опыта, при котором сначала выпало i, а затем j очков.
Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов содержит 36 элементарных исходов.
Пример 1.3. Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линий связи), но, поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарных исходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.
.
Пример 1.4. Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени. В этом случае естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар (х;у) действительных чисел, где х — абсцисса, а у — ордината точки попадания пули в мишень в некоторой системе координат. Таким образом,
.