1.3. Сигма-алгебра событий

Необходимость введения настоящего параграфа обусловлена тем, что современная теория вероятностей основывается на понятии вероятностного пространства, одним из трех компонентов которого является сигма-алгебра событий.

В предыдущем параграфе мы назвали событием любое подмножество пространства элементарных исходов . Такое определение допустимо, если является конечным или счетным множеством. Оказывается, однако, что в случае несчетного множества элементарных исходов уже нельзя построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество множества . Поэтому событиями в этом случае называют не любые подмножества элементарных исходов, а только подмножества из , принадлежащие некоторому классу B. Этот класс в теории множеств принято называть сигма-алгеброй событий (пишут -алгебра).

С точки зрения здравого смысла событие — это то, что мы наблюдаем после проведения опыта. В частности, если можно после опыта установить, произошли или нет события А и В, то можно также сказать, произошли или нет события и , объединение, пересечение и разность событий А и В. Таким образом, - алгебра событий обязана быть классом подмножеств, замкнутым относительно приведенных операций над подмножествами, т.е. указанные операции над элементами (подмножествами) данного класса приводят к элементам (подмножествам) того же класса.

Дадим теперь строгое определение -алгебры событий.

Определение 1.11. Сигма-алгеброй ( -алгеброй)B называют непустую систему подмножеств некоторого множества J удовлетворяющую следующим двум условиям.

1. Если подмножество А принадлежит B, то дополнение принадлежит B.

2. Если подмножества, А₂,…,А_п,... принадлежат, то их объединение А₂ ... А_п ... и их пересечение А₂ ... А_п ... принадлежит B.

Поскольку J = A и = , то множество J и пустое множество принадлежат B.

Рассмотрим пространство элементарных исходов . Элементы некоторой -алгебры B, заданной на , будем называть событиями. В этом случае -алгебру B принято называть сигма-алгеброй ( -алгеброй) событий.

Любая -алгебра событий содержит достоверное событие и невозможное событие .

В случае конечного или счетного пространства элементарных исходов в качестве -алгебры событий обычно рассматривают множество всех подмножеств .

Замечание 1.3. Если в условии 2 счетное множество событий заменить на конечное, то получим определение алгебры событий. Любая -алгебра событий обязательно является алгеброй событий. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

Пример 1.8. Пусть опыт состоит в подбрасывании один раз тетраэдра, каждая грань которого помечена одним из чисел 1, 2, 3 и 4.

Очевидно, что пространство элементарных исходов в этом опыте имеет вид

,

где — падение тетраэдра на грань с числом i, .

Поскольку в рассматриваемом опыте может происходить одно из следующих событий:

,

то алгебра событий будет содержать все подмножества , включая (достоверное событие) и (невозможное событие).

Пример 1.9. Пусть опыт состоит в случайном бросании точки на числовую прямую R¹ = , которая в данном случае будет представлять собой пространство элементарных исходов . Ясно, что, зная результат опыта, всегда можно установить, попала или нет точка в любой из промежутков [а, b], [а, b), (а, b], (а, b). Поэтому относительно -алгебры событий B предполагают, что она содержит все эти промежутки.

В принципе могут существовать различные -алгебры, удовлетворяющие этому требованию. Но среди них есть одна -алгебра, элементы которой принадлежат всем остальным. Ее называют минимальной, или борелевской, -алгеброй на числовой прямой.

Аналогично определяют борелевскую -алгебру и в Rⁿ, п>1.

В заключение заметим, что с точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов, не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в практических задачах никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому мы предлагаем при первоначальном знакомстве с теорией вероятностей под событием понимать произвольное подмножество пространства элементарных исходов, а под -алгеброй событий — совокупность всех подмножеств множества .