5. Многомерные случайные величины

В прикладных задачах обычно приходится рассматривать не одну случайную величину, а несколько случайных величин, одновременно измеряемых (наблюдаемых) в эксперименте. При этом с каждым элементарным исходом бывает связан набор числовых значений некоторых количественных параметров.

В этой главе мы обобщим ранее полученные результаты на совокупность из нескольких случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве.

5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения

Определение 5.1. Совокупность случайных величин

Заданных на одном и том же вероятностном пространстве ( ,B, Р), называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или п-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины называют координатами случайного вектора. В частности, при п=1 говорят об одномерной, при п=2 – двумерной случайной величине (или двумерном случайном векторе).

Для n-мерного случайного вектора воспользуемся обозначениями и . В случае двумерных и трехмерных случайных векторов на ряду с обозначениями и будем использовать также обозначения (X, Y) и (X, Y, Z).

Приведем примеры случайных векторов.

Пример 5.1. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X, Y), где Х – отклонение по дальности, а Y – отклонение в боковом направлении.

При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случай вектора (X, Y, Z), где X, Y, Z – координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат.

Пример 5.2. При испытании прибора на надежность совокупных внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором (X, Y, Z, …). Здесь, например, Х – температура окружающей среды, Y – атмосферное давление, Z – амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой.

Определение 5.2. Функцией распределения (вероятностей)

(п-мерного) случайного вектора называют функцию, значение которой в точке равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий , т.е.

Функцию распределения называют также совместной (п-местной) функцией распределения случайных величин . В частности, при п=1 будем говорить об одномерной, при п=2 – о двумерной функции распределения.

Значение двумерной функции распределения в точке , согласно определению 5.2, представляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами в квадрант с вершиной в точке , заштрихованный на рис. 5.1.

Свойства двумерной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины, доказываются в следующей теореме.

Теорема 5.1. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1) .