6.5. Решение типовых примеров

Пример 6.7. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной

величины X, ряд распределения которой представлен в таблице.

XX	00	11	22	3
PP	00,41	00,43	00,11	0,05

В соответствии с определением математического ожидания дискретной случайной величины X

.

Дисперсию находим по формуле D(Х )= M(X²)- (MX)². Математическое ожидание квадрата X равно

.

Поэтому D(X) = 1,32 - 0,8² = 0,68.

Наконец, среднее квадратичное отклонение

.

Пример 6.7. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины X, плотность распределения которой имеет вид

В соответствии с определением математического ожидания непрерывной случайной величины X

.

Вычислим теперь дисперсию X: .Наконец,

7. Условные характеристики случайных величин

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие условной вероятности, введенное в гл. 3. Там же было показано, что условная вероятность Р(А|В) обладает всеми свойствами безусловной вероятности и так же, как и безусловная вероятность, представляет собой численную меру наступления события А, но только при условии, что событие В произошло. Аналогом понятия условной вероятности для двух случайных величин X и Y является условный закон распределения одной из них, допустим, X при условии, что вторая случайная величина Y приняла определенное значение. С помощью условного закона распределения вводят условные числовые характеристики. Именно эти понятия и рассматриваются в настоящей главе.

1. Условные распределения

Понятие условного распределения, как обычно, введем только для случаев дискретных и непрерывных случайных величин. В случае двумерной дискретной случайной величины (X, Y) будем предполагать для простоты изложения, что множества возможных значений случайных величин X и Y являются конечными, т.е. координаты X и Y принимают значения , и , соответственно. В этом случае, как мы знаем, закон распределения двумерного случайного вектора (X, Y) удобно задавать набором вероятностей

для всех значений i и j. Напомним, что, зная вероятности нетрудно найти законы распределений каждой из координат по формулам

, .

Определение 7.1. Для двумерной дискретной случайной величины (X, Y) условной вероятностью , , того, что случайная величина X примет значение при условии , называют условную вероятность события при условии события , т.е.

(7.1)

При каждом j, , набор вероятностей определяет, с какими вероятностями случайная величина X принимает различные значения -, если известно, что случайная величина Y приняла значение . Иными словами, набор вероятностей , характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии . Обычно условное распределение дискретной случайной величины X при условии, что дискретная случайная величина Y примет все возможные значения, задают с помощью табл. 7.1. Элементы табл. 7.1 получают из элементов табл. 5.1, используя формулу . Очевидно, что, наоборот, элементы табл. 5.1 можно выразить через элементы табл. 7.1 с помощью соотношения

Для проверки правильности составления табл. 7.1 рекомендуется просуммировать по столбцам. Сумма элементов последней строки должна быть равна 1.

Таблица 7.1

XX	Y
	y1	y2	...	ym	PX
x1	p11	p12	…	1p1m	pX1
…	…	…	…	.…	…
xn	p11	p11	…	p11	pXn
PY	PpY1	pY2	....	pYm	p

Аналогично определяют условную вероятность того, что случайная величина Y примет значение при условии : .

Пример 7.1. Условное распределение случайной величины X (числа очков выпавших на верхней грани игральной кости, при условии (числа очков, выпавших на нижней грани игральной кости), , представлено в табл. 7.2. Действительно, если, например, на нижней грани выпало одно очко, то на верхней грани может выпасть только шесть очков ( ).

Таблица 7.2

XX	Y
	11	22	33	44	55	66	PX
11	00	00	00	00	00	11	11/6
22	00	00	00	00	11	00	11/6
33	00	00	00	11	00	00	11/6
44	00	00	11	00	00	00	11/6
55	00	01	00	00	O0	00	11/6
66	01	00	00	00	00	00	11/6
P	11/6	11/6	11/6	11/6	11/6	11/6

В общем случае (т.е. когда X и Y не обязательно дискретные случайные величины) хотелось бы ввести условную функцию распределения случайной величины X при условии по формуле

. (7.2)

Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие имеет нулевую веро­ятность, т.е. Р{Y = у} = 0). Поэтому воспользуемся предельным переходом, рассматривая вместо события {Y= у} событие и устремляя к нулю.

Ограничимся случаем, когда двумерный случайный вектор

(X, Y) имеет непрерывную совместную плотность распределения р(х,у), а следовательно , и маргинальные плотности распределения

и ,

которые также будем считать непрерывными.

Таким образом, по определению, имеем

. (7.3)

При сделанных предположениях о непрерывности случайного вектора (X, У) условная функция распределения имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины X при условии Y = y:

. (7.4)

Аналогично определяют условную функцию распределения и условную плотность распределения случайной величины Y при условии X = х:

,

.

Для краткости далее вместо и будем писать и .

Итак, для непрерывного случайного вектора (X, Y) мы пришли к следующему определению условной плотности распределения.

Определение7.2. Условной плотностью распределения случайной величины X, являющейся координатой двумерного случайного вектора (X, Y), при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение у, т.е. Y = y, называют функцию , определяемую соотношением

. (7.5)

Аналогично определяют условную плотность распределения координаты Y при условии X = х

. (7.6)

Введенные понятия — условное распределение (дискретной случайной величины), условная функция распределения и условная плотность распределения (для непрерывных случайных величин) — называют условными законами распределения.

Для проверки независимости случайных величин часто удобно пользоваться следующим критерием.

Критерий независимости случайных величин X и Y.

Случайные величины X и Y являются независимыми тогда

и только тогда, когда условное распределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины X при условии Y= у совпадает с безусловным распределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины X.

В частности, дискретные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда все условные вероятности

совпадают с безусловными вероятностями

,

т.е. все столбцы табл. 7.1 совпадают с последним.