4. Одномерные случайные величины

В предыдущих главах мы изучали случайные события, что позволяло нам исследовать вероятностные свойства (закономерности) случайных экспериментов на качественном уровне („да" — „нет"): попадание в цель — промах, отказал прибор за время t — не отказал и т.д.

Однако с момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами. Начиная, с настоящей главы и до конца книги мы будем изучать именно случайные величины.

4.1. Определение случайной величины

Для того чтобы лучше осознать связь, существующую между случайными величинами и случайными событиями, начнем с пояснения понятия случайной величины.

Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Следовательно, для задания случайной величины необходи­мо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход.

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами: X, Y, Z и т.д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами: x, y, z. В русскоязычной литературе принято также обозначение случайных величин греческими буквами: и т.д.

Рассмотрим примеры.

Пример 4.1. В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид

{ = l, = 2, …, = 6}.

Если вспомнить, как выглядит пространство элементарных исходов в этом опыте, то будет очевидно следующее соответ­ствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X:

X =1 2 ... 6.

Иными словами, каждому элементарному исходу ,

ставится в соответствие число i.

Пример 4.2. Монету подбрасывают до первого появле­ния „герба". В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X — число бросаний до первого появления „герба" с множеством возможных значений {1, 2, 3, ...} и Y — число „цифр", выпавших до первого появления „герба", с множеством возможных значений {0, 1, 2, ...} (ясно, что X =Y + 1). В данном опыте пространство элементарных исходов й можно отождествить с множеством

{Г, ЦГ, ЦЦГ,…Ц...ЦГ, ...},

причем элементарному исходу Ц...ЦГ ставится в соответствие число m + 1 или т, где т — число повторений буквы „Ц".

Пример 4.3. На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние X от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния Y = X², угол Z в полярной системе координат и т.д.

Теперь мы можем дать определение случайной величины.

Определение 4.1. Скалярную функцию Х(ω), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x R {ω: Х(ω) < х} — множество элементарных исходов, для которых Х(ω) < х является событием.

Для краткости условимся в дальнейшем вместо записи {ω: Х(ω) < х} использовать запись {Х(ω) < x}, если необхо­димо подчеркнуть связь случайной величины с пространством элементарных исходов Ω, или даже запись {X < x}, если не ак­центируется внимание на этой связи.