2.6. Решение типовых примеров

Пример 2.11. Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найдем вероятность того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани).

Общее число элементарных исходов в данном опыте N = 27. Обозначим: А — событие, заключающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань; В — две грани и С — три грани. Событию А благоприятствует = 6 элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию В — = 12 исходов (число ребер у исходного куба), а событию С — 8 исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому

, , .

Пример 2.12. Из 33 карточек с написанными на них различными буквами русского алфавита наугад извлекаются пять карточек и располагаются слева направо в порядке извлечения. Найдем вероятность появления слова „РАДИО” (событие А).

Поскольку карточки обратно не возвращаются и порядок выбора существен, то общее число элементарных исходов равно числу размещений без повторений из 33 элементов по пять элементов:

.

Событию А благоприятствует только один элементарный исход ( =1). Значит,

.

Пример 2.13. Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка „пик”, семерка „пик”, туз „пик”.

Поскольку порядок выбора в данном случае не существен и карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочетаний без повторений из 52 элементов по три элемента, т.е.

.

Рассматриваемому событию А благоприятствует единственный исход ( = 1). Поэтому

Пример 2.14. Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом.

Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с перестановкой из восьми элементов, т.е.

Рассматриваемому событию А благоприятствуют такие перестановки, когда два отмеченных лица садятся рядом: всего восемь различных пар мест за столом и за каждую пару мест данные лица могут сесть двумя способами. При этом остальные шесть человек могут разместиться на оставшихся местах произвольно. Значит,

и

Для сравнения приведем еще одно решение поставленной задачи. Заметим, что поскольку нас интересуют только два определенных лица, то порядок размещения остальных не играет роли. В свою очередь, если первый человек сел на определенное место, то второй может сесть на оставшиеся семь мест. При этом в двух случаях оба лица окажутся рядом и

Пример 2.15. Из 10 первых букв русского алфавита составлены всевозможные трехбуквенные „слова”. Найдем вероятность того, что случайно выбранное „слово” окажется „словом” „НИИ”.

Число различных „слов” равно числу размещений с повто­рениями из 10 элементов по три элемента, т.е.

Поскольку благоприятствующий исход только один, то

Пример 2.16. Опыт состоит в четырехкратном случайном выборе с возвращением одной буквы из букв алфавита „А”, Б”, „К”, „О” и „М” и записывании результата выбора слева направо в порядке поступления букв. Найдем вероятность того, что в результате будет записано слово „МАМА”.

Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из пяти элементов по четыре элемента, т.е.

Слову „МАМА” соответствует лишь один исход. Поэтому

Пример 2.17. В урне имеются четыре шара различного цвета. Наудачу из урны извлекают шар и после определения его цвета возвращают обратно. Найдем вероятность того, что среди восьми выбранных шаров будут только шары одного цвета (событие A)? будет по два шара разного цвета (событие В).

Число элементарных исходов равно числу размещений

с повторениями из четырех элементов по восемь элементов.

Для того чтобы найти число исходов, благоприятствующих событию А, предположим сначала, что вынимают только шары первого цвета. Это можно сделать только одним способом. Аналогично только одним способом можно выбрать шары второго, третьего и четвертого цветов. Поэтому = 4 и

Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу тех сочетаний с повторениями из четырех элементов по восемь элементов, в которых каждый элемент повторяется по два раза, т.е. .

Значит,

.

Пример 2.18. Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путем жеребьевки распределены на две подгруппы по девять команд в каждой. Пять команд обычно занимают первые места. Найдем вероятность попадания всех лидирующих команд в одну подгруппу (событие А); трех лидирующих команд в одну подгруппу, а двух — в другую (событие B). Пространство элементарных исходов в данном случае состоит из всевозможных способов выбрать из 18 команд, среди которых пять лидирующих, девять команд в первую подгруппу (тогда вторую подгруппу будут составлять оставшиеся девять команд), причем события А и В происходят тогда, когда в первую подгруппу попадет определенное число лидирующих команд и команд аутсайдеров. Значит, мы имеем дело с гипер-геометрической схемой, в которой k = 2, п = 18, = 5, т = 9.

Событие А происходит тогда, когда в первую подгруппу попадают или пять лидирующих команд и четыре команды-аутсайдера ( = 5, = 4), или девять команд-аутсайдеров ( = 0, = 9). Значит,

Аналогично событие В происходит тогда, когда в первую подгруппу попадут или три лидирующие команды и шесть команд-аутсайдеров ( =3, = 6) или две лидирующие команды и семь команд-аутсайдеров ( =2, = 7). Таким образом,

Пример 2.19. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросают монету радиуса r, r < a/2. Найдем вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата.

Пусть (x; у) — координаты центра упавшей монеты. В силу бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащего этот центр. Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата (рис. 2.2), можно записать множество элементарных исходов в виде

Рис. 2.2

Область А, соответствующая рассматриваемому событию, имеет вид

т.е. является квадратом со стороной а – 2r. В соответствии с формулой геометрической вероятности находим

Пример 2.20. В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Сигналы искажаются, если разность между моментами их поступления меньше . Определим вероятность того, что сигналы будут искажены.

Изобразим случайные моменты и поступления сигналов в приемник в виде точки на плоскости с координатами

(х; у). Областью возможных значений является квадрат площадью (рис. 2.3). Сигналы будут искажены, если . Эта область лежит между прямыми и .

Площадь ее равна

Следовательно,

.

Рис. 2.3