9.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.

Пусть требуется изучить дискретную генеральную совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности. Обозначим генеральную среднюю через . Если все значения признака генеральной совокупности объема N являются различными, то

, (9.14)

Поскольку признак X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одну и ту же вероятность p =1:N, математическое ожидание этой величины определяется формулой

(9.15)

Если значения имеют соответственно частоты

N_1, N₂,..,N_m, причем , то (9.16)

Отметим, что формула (9.15) справедлива и для этого случая. При непрерывном распределении признака X по определению полагают

(9.17)

Предположим, что для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X из нее извлечена выборка объема п.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности. Если все значения различны, то

(9.18)

Если значения имеют соответственно частоты , причем ,то (9.19)

Так как каждой выборке объема n , извлеченной из генеральной совокупности, соответствует некоторое число , определяемое формулой(9.18) или (9.19), то выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину Х_В.

Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней. Покажем, что эта оценка является несмещенной и состоятельной, т.е. M(X_B) = , . Не уменьшая общности рассуждений, предполагаем, что все значения различны. Будем рассматривать эти значения как независимые, одинаково распределенные случайные величины ; они имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одно и то же математическое ожидание а. Учитывая свойства математического ожидания, получаем

(9.20)

(9.21)

Поскольку каждая из величин имеет то же распределение, что и генеральная совокупность, математическое ожидание признака X генеральной совокупности также равно а, т.е. М(Х) = а.

Из формул (9.15), (9.20) и (9.21) следует, что

(9.22)

Это равенство означает, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней. Предполагая, что дисперсии случайных величин ограничены, на основании следствия из теоремы Чебышева (частный случай) получаем

(9.21)

так как а =x_Г в силу равенств (9.15) и (9.21). Следовательно, при неограниченном увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Последнее равенство означает, что выборочная средняя будет состоятельной оценкой генеральной средней.

Из предыдущего следует , что выборочные средние, найденные по нескольким выборкам достаточно большого объема из некоторой генеральной совокупности, приближенно равны между собой. Это утверждение выражает свойство устойчивости выборочных средних.