4.14 Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений.

Эффект связей можно учитывать не только вводя их реакции, но и рассматривая те перемещения, которые точки механической системы могут иметь при наложенных на нее связях . Такой метод позволяет сразу получить уравнение равновесия или движения системы, не содержащие наперед неизвестных реакций связей, что существенно облегчает решение многих задач механики. Эти перемещения называют возможными или виртуальными перемещениями. Они должны быть малыми (элементарными), так как при конечном перемещении система может прийти в положение, где эффект наложенных связей будет другим; быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранились, иначе может измениться вид рассматриваемой механической системы.

Следует различать действительное элементарное перемещение от виртуальных перемещений. Поэтому возможное перемещение принято обозначать , при этом δs будет обозначать его модуль , а - проекции на координатные оси.

Следует отметить также, что число независимых между собой возможных перемещений системы равно ее числу степеней свободы.

Обозначим равнодействующие всех(внешних и внутренних) активных сил и реакции связей действующих на некоторую точку системы соответственно через и . В случае равновесия механической системы, когда каждая ее точка находится в равновесии, имеет место равенство

Умножаем это равенство скалярно на и получим

Сложив эти равенства по индексу k получим

В случае идеальных связей сумма работ их реакций на любом возможном перемещений равна нулю, т.е. . Тогда окончательно приходим к соотношению

(4.54)

которое характеризует принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с иральными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Уравнение (4.54) можно записать в аналитической форме

(4.55)

Равенства (4.54) и (4.55) часто называют общим уравнением статики.

4.15 Принцип Даламбера – Лагранжа

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики, а принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно мы можем получить общий метод решения задачи динамики. Согласно принципу Даламбера система активных сил , реакций связей и сил инерции образуют уравновешенную систему сил. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим

Но поскольку связи идеальные и , окончательно запишем

(4.56)

Равенство (4.56) выражает принцип Даламбера – Лагранжа, при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещений системы будет равна нулю. В аналитической форме уравнение (4.56) имеет вид

(4.57)

Уравнение (4.56) и (4.57) называют общим уравнением динамики.