Задача с1

В этой задаче исследуется равновесие плоской системы сил.

Жесткая рама (рис. С1.0  С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шар­нирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню BB₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвиж­ной опоре шарнирами.

Рис. С1.0

Рис. С1.0

Рис. С1.1

Рис. С1.2

Рис. С1.3

Рис. С1.4.

Рис. С1.5

Рис. С1.6

Рис. С1.7

Рис. С1.9

Рис. С1.8

Таблица С1

Рис. С1.8

На раму действует пара сил с моментом M = 100 Нм, распределенная нагрузка с интенсивностью q = 20 Н/м и две сосредоточенные силы, значения которых, направления, и точки приложения указаны в таблице. Параметр l = 0,5 м.

Определить реакции связей в точках A и B, которые вызваны заданными нагрузками.

Указания: В задаче С1 рассматривается равновесие тела под действием плоской системы сил. Необходимо учесть, что уравнения моментов будут простыми (содержать меньше неизвестных), если в качестве полюсов принять точки, где пересекаются линии действия двух или более искомых реакций. При вычислении моментов сил там, где затруднено непосредственное определение плеч, необходимо использовать теорему Вариньона, т.е. разложить, например силу на её составляющие и , для которых плечи легче вычисляются, для которых справедливо соотношение .

Пример С1. Жесткая рама (рис.С1) закреплена в точке A шарнирно, а в точке B прикреплена к подвижной шарнирной опоре. Действующие нагрузки и размеры указаны на рисунке.

Дано: F₁ = 20 кН, ₁ = 60, F₂ = 40 кН, ₂ = 30, M = 80 Кнм, q = 10 кН/м, l = 0,5 м, p = 45

Определить: реакции в точках A и B.

Решение

1 Рассмотрим равновесие рамы. Выберем систему координат Axy и изобразим действующие на раму силы: силы , пару сил с моментом M и реакции связей (реакция шарнирной опоры представлена двумя ее

Рис. С1

составляющими). Распределенная нагрузка эквивалентно заменена сосредоточенной силой Q, которая равна площади треугольника и проходит через его центр тяжести (точку пересечения медиан) на расстоянии 2/3 длины основания от вершины B:

2 Для таким образом полученной системы сил запишем три уравнения равновесия. При вычислении моментов сил в качестве полюса выгодно выбрать точку A, так как через эту точку проходят линии действия двух искомых неизвестных сил. Плечо силы определяется из прямоугольного треугольника h₂ = 2lsin ₂. При определении моментов сил и целесообразно воспользоваться теоремой Вариньона

, ,

причем .

Уравнения равновесия имеют вид:

Решив эти уравнения с учетом числовых данных определим искомые реакции.

Ответ: X_A = 1,35 Кн, Y_A = –18,67 Кн, R_B = 36,76 Кн

Проверочные расчеты. Для оценки правильности результатов составим еще одно ("лишнее") уравнение равновесия. В качестве полюса выгодно (уравнение получится проще) принять точку H.

18,6720,5 – 80 + 200,540,5 – 200,86620,5 + 36,760,70740,5 + 6,67 = 0,01  0

Таким образом, задача решена верно. Знак () при Y_A указывает, что эта реакция направлена противоположно показанной на рис. С1.