4.3 Механическая система. Основные понятия.

Механической системой называется совокупность материальных точек или тел, в которой движение каждой из них зависит от движения остальных.

При рассмотрении механических систем различают внешние и внутренние силы. Силы действующие на точку механической системы со стороны точек (или тел) не входящих в систему, называются внешними и обозначаются , где k – индекс соответствующей точки системы. Силы, характеризующие взаимодействие точек (или тел) самой системы называются внутренними и обозначаются . В динамике системы активные силы, силы инерции и реакции связей соответственно обозначаются: .

В соответствии с третьим законом Ньютона, внутренние силы удовлетворяют

следующим условиям.

1. 2. 3. – работа внутренних сил неизменяемой системы равно нулю.

Массой механической системы называется сумма масс материальных точек системы

(4.7)

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус – вектор которой определяется формулой.

(4.8)

Отсюда следует и скалярные выражения для координат центра масс.

(4.9)

При изучении движения твердого тела, важную роль играют моменты инерции, Моментом инерции относительно оси называется сумма произведений масс точек тела на квадраты их расстояний до этой оси.

(4.10)

Обычно ось, относительно которой вычисляется осевой момент инерции, указывается соответствующим индексом, например: . Момент инерции относительно центральной оси, проходящей через центр масс тела, часто обозначают .

Для определения закона движения точек механической системы на основании второго закона Ньютона можно записать.

(k = 1,2,…,n) (4.11)

Здесь - соответственно масса ускорение k – ой точки системы, результирующая внешних и внутренних сил, приложенных в этой точке. Решение этих уравнений в общем случае оказывается трудным и громоздким, а иногда и невозможным.

Вместе с тем во многих задачах в этом нет необходимости. Для описания движения достаточно знать поведение с течением времени интегральных кинетических характеристик системы, которые определяются общими теориями динамики системы.

4.4 Кинетические характеристики движения механической системы.

1. Количество движения.

Количеством движения механической системы называется векторная величина , равная геометрической сумме количеств движений всех точек системы:

(4.12)

Где - количество движения k – ой точки. Количество движения можно представить также в следующей форме

(4.13)

Здесь - масса системы и скорость её центра масс соответственно.

2. Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы.

Кинетическим моментом механической системы относительно которого центра О называется векторная величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения точек системы относительно центра О.

(4.14)

где - момент количества движения k-ой точки относительно центра О.

Момент количества движения системы относительно оси, проходящей через точку О - есть проекция вектора на эту ось. В случае твердого тела.

(4.15)

Где - соответственно момент инерции тела относительно оси и проекция угловой скорости на эту ось. Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси, то