3.3 Сложное движение точки

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат O₁x₁y₁z₁, которая в свою очередь движется по отношению системы координат Oxyz, условно принятой в качестве неподвижной. При этом:

1) движение точки относительно системы координат Oxyz называется абсолютным;

2) движение точки относительно подвижной системы осей O₁x₁y₁z₁ называется относительным;

3) движение той точки подвижного пространства, с которой неизменно связана подвижная система отсчета O₁x₁y₁z₁ и с которой в данный момент времени совпадает рассматриваемая точка по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz называется переносным.

Р

Рис. 3.13

азличают также абсолютные, относительные и переносные траектории, скорости и ускорения точки как кинематические характеристики соответствующие указанным выше её движениям.

Разложение сложного (абсолютного) движения точки на относительные, переносные часто дает возможность привести сложное движение к простейшим движениям и этим самым облегчить решение конкретной задачи. Из определения абсолютного движения очевидно (рис. 3.13), что

(3.30)

3.3.1 Теорема о сложении скоростей

При сложном движении точки абсолютная скорость равна геометрической (векторной) сумме относительной и переносной скоростей (рис. 3.13).

(3.31)

Модуль абсолютной скорости определяется по формуле:

(3.32)

В разных учебниках можно встретить следующие обозначения скоростей:

3.3.2 Ускорение точки в сложном движении

При определении ускорений точки в сложном движении пользуются теоремой Кориолиса, по которой абсолютное ускорение точки равно сумме трех ускорений: переносного, относительного и поворотного или Кориолисова.

(3.33)

В общем случае, когда и переносное и относительное движения точки криволинейные, формула (3.33) приобретает вид:

(3.34)

где соответственно ускорения начала подвижной системы координат, касательные и нормальные составляющие переносного и относительного ускорений. В случаях, когда переносное движение представляет собой вращение вокруг неподвижной оси начало подвижной системы осей удобно поместить на оси вращения и поэтому Вектор ускорения Кориолиса определяется по формуле:

(3.35)

модуль которого вычисляется:

где _e – угловая скорость переносного движения,

v_r – относительная скорость точки. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

1) если , т.е. в случаях поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2) если , т.е. в случаях относительного покоя точки или в моменты обращения в нуль относительной скорости точки;

3) если , т.е. в случаях , относительная скорость параллельна оси переносного вращения.

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу векторного произведения. Векторы составляют правую систему ортогональных векторов. Для определения направления ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом

Рис. 3.13

Жуковского: чтобы найти направление ускорения Кориолиса следует спроектировать вектор скорости относительного движения точки на плоскость, перпендикулярную к оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90 в сторону переносного вращения (рис. 3.14).

При решении каждой конкретной задачи рекомендуется соблюдать следующий порядок.

1 Разложить сложное (абсолютное) движение точки на относительное и переносное движения.

2 Выбрать неподвижную и подвижную системы координат.

3 Мысленно остановить переносное движение и определить скорость и ускорение точки в относительном движении.

4 Мысленно отвлекаясь от относительного движения, найти скорость и ускорение переносного движения точки.

5 По угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении определить Кориолисово ускорение.

6

Рис. 3.14

Изобразить на рисунке векторы относительной и переносной скоростей, относительного, переносного и Кориолисова ускорений или их составляющих.

7 Спроектировать векторы ускорений или их составляющих на оси координат.

8 По найденным проекциям определить искомые скорости и ускорения (модули этих векторов и их направляющие косинусы). В случаях, когда число рассматриваемых векторов не превышает трех, что имеет место при определении скоростей и в некоторых частных случаях определения ускорений, можно использовать формулы теоремы синусов и теоремы косинусов, т.е. непосредственно рассмотреть треугольники векторов скоростей и ускорений.