Задача с3

В этой задаче исследуется равновесие пространственной системы сил.

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равнове­сии невесомым стержнем СС (рис. С3.0 – С3.9).

На плиту действуют пара сил с моментом M = 6 кНм, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С3; при этом силы и , лежат в плоскос­тях, параллельных плоскости ху, сила – в плоскости, параллельной xz, сила  в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l = 0,8

Рис. С3.0

Рис. С3.1

Рис. С3.2

Рис. С3.3

Рис. С3.5

Рис. С3.4

Рис. С3.6

Рис. С3.7

Рис. С3.8

Рис. С3.9

Указания. Задача C3 – на равновесие тела под действием простран­ственной системы сил. При её решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндри­ческого шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикуляр­ной оси шарнира. При вычислении моментов силы тоже часто удобно разложить ее на сос­тавляющие и , параллельные координат­ным осям; тогда по теореме Вариньона и т.д.

Таблица С3

Пример С3. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С3) закреплена сферичес­ким шарниром в точке A, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стерж­нем DD, лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила (параллельная оси y) и пара сил с моментом M (в плоскости пли­ты).

Дано: Р = 5кН, М =3 кНм, F₁ = 6 кН, F₂ = 7,5 кН,  = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, CE = 0,5АВ, ВК = 0,5ВС.

Определить: реакции опор А, В и стержня DD.

Решение

1

Рис. С3

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют задан­ные силы и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие цилиндрического (подшипника) – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня на­правим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2 Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

 F_kx = 0, X_A + F₁cos = 0, (1)

 F_ky = 0, Y_A + Y_B + F₂  Ncos75 = 0, (2)

 F_kz = 0, Z_A + Z_B  P  Nsin75 + F₁sin = 0, (3)

F₂BK + Ncos75BC = 0, (4)

(5)

Y_AAB  Ncos75AB = 0. (6)

Для определения момента силы относительно оси y разлагаем на составляющие и параллельные осям x и z , и применяем теорему Вариньона (см. указания). Анало­гично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех задан­ных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: X_A = 5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = 7,5 кН, Z_B=12,4кН, N = 14,5 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. C3.