3 Кинематика

Кинематика – раздел теоретической механики, в которой движение точек или тел изучается с чисто геометрической стороны, без учета их масс и вне зависимости от действующих на них сил. Движение изучается в пространстве и во времени, причем время считается абсолютным (одинаковым во всех системах отсчета).

3.1 Кинематика точки

Задачей кинематики точки является определение траектории, скорости и ускорения точки. Траекторией точки называется геометрическое место её последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы координат. По виду траектории движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные.

3.1.1 Способы задания движения

Задать движение точки – это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить её положение по отношению к выбранной системе отчета.

1 Векторный способ задания движения. Положение точки по отношению к выбранному центру отсчета будет определено, если для любого момента времени известен её радиус-вектор (рис. 3.1), т.е.

(3.1)

В

Рис. 3.1

ектор-функция (3.1) называется уравнением движения точки в векторной форме. Выражение (3.1) является также векторным уравнением траектории толчки.

2 Координатный способ задания движения. Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным. При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат задаются координаты точки как функции времени (рис. 3.2).

x = f₁(t)

y = f₂(t) (3.2)

z = f(t)

У

Рис. 3.2

равнения (3.2) называются законом движения или уравнениями движения точки в координатной форме. Выражения (3.2) можно рассмотреть также как параметрические (параметр – t) уравнения траектории точки. В общем случае, исключив параметр t из выражений (3.2), можно получить уравнения траектории.

Ф₁(x,y,z)=0, Ф₂(x,y,z) = 0 (3.3)

Таким образом, траекторией точки в пространстве является линия пересечения поверхностей, описываемых уравнениями (3.3).

В случае двумерного (плоского) движения точки уравнения движения и уравнения траектории соответственно имеет вид

x = f₁(t), y = f₂(t); (3.2)

y = f(x) (3.3)

Связь между координатным и векторным способами задания движения. Из рис. 3.3 очевидно, что

, и r_x = x, r_y = y, r_z = z (3.4)

Таким образом, если движение задано координатным способом, то вектор-функцию можно определить и наоборот – однозначно определяет функции x(t), y(t), z(t).

3

Рис. 3.3

Естественный способ задания движения. При этом способе задания движения указывается траектория точки, начало и направление отсчета на траектории и закон движения точки по этой траектории (рис. 3.4). Уравнение движения точки по траектории имеет вид

S = S(t) (3.5) ,

где S – дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала отсчета на траектории. Знак определяется в соответствии с выбранным направлением отсчета.

Связь между координатным и естественным способами задания движения.

Рис. 3.4

(3.6)

где – произвольные по времени от координат точки

x, y, z. Знак (+) или (–) перед интегралом ставится в соответствии с выбранным направлением отсчета.