3.1.4 Последовательность решения задач по кинематике точки

При решении задач по кинематике точки рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

1 По заданным уравнениям движения точки определяем уравнение её траектории и указываем на этой кривой действительную траекторию точки. Для заданного момента времени находим положение точки на траектории.

2 Определяем скорость точки.

3 Определяем полное ускорение точки.

4 Определяем касательное и нормальное ускорения.

5 Определяем радиус кривизны траектории точки.

6 Вычислим указанные выше кинематические характеристики в заданный момент времени. Изображаем схематично векторы скорости, касательного, нормального, полного ускорений и радиус кривизны траектории, соответствующий для положения точки в данный момент времени.

Задача к1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка В движется в плоскости xy (рис. К1.0 – К1.9, таблица К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁(t), y = f₂(t), где x, y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Определить уравнение траектории точки для момента времени t₁ = 1 с. Найти скорость и ускорение точки, касательное и нормальное её ускорения, а также радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y = f₂(t) дана в таблице К1 (для рис. 0 – 2 в столбце 2, для рис. 3 – 6 в столбце 3, для рис. 7 – 9 в столбце 4). Номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице К1 – по последней.

Таблица К1

Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону s = f(t), заданному в таблице К1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁ = 1 с. Изобразить на рисунке векторы , считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s – от А к М.

Рис. К1.0

Рис. К1.1

Рис. К1.2

Рис. К1.3

Рис. К1.4

Рис. К1.5

Рис. К1.6

Рис. К1.7

Рис. К1.8

У

Рис. К1.9

казания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания её движения.

В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные тригонометрические формулы: cos² + sin² = 1; cos 2= cos² – sin² = 1 – 2sin² = 2 cos² –1; sin 2 = 2sincos.

Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

(x, y – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки для момента времени t = 1с. Найти скорость и ускорение точки, а также её нормальное и касательное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение

1 Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Учитывая конкретный вид функции x = f₁(t), y = f₂(t), используем формулу:

cos 2= 1– 2 sin² или (а)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (а). Получим

Следовательно, .

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1а).

x = (y+1)² + 1 (б)

Найдем начало отсчета движения, т.е. точку В₀ (х_о; у_о) при t_o=0; х_о=1, у_о= -1, следовательно В₀ (1;-1).

Определим также координаты точки при t = 1с.

x₁ = –2cos(/4) + 3  1,5 (см), y₁ = 2sin(/8) – 1= – 0,23 см.

Таким образом, точка движется от точки В₀ к точке В₁ и далее. Реализуется верхняя от точки В₀ ветвь параболы.

2 Скорость точки найдем по её проекциям на координатные оси

где v_1x , v_1y , v₁ – значения v_x , v_y , v при t = 1 с.

3 Аналогично находим ускорение:

Рис. К1а

где а_1х , а_1y , а₁ – значения а_х, а_у, а при t = 1 с.

4 Касательное ускорение при t = 1 с находим по формуле:

5 Нормальное ускорение при t = 1 с определяем из выражения:

.

6 При t = 1 с радиус кривизны траектории для точки В₁ (1,5; –0,23) равен:

Ответ: v₁ = 1,33 см/c, a₁ = 0,88 см/c², a_1 = 0,66 см/c², a_1n = 0,58 см/c², ₁ = 3,05 см. Векторы и схематично ₁ изображаем на рисунке К1а.

Пример К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону (S – в метрах, t – в секундах), где (рис. К1б). Определить скорость и ускорение в момент времени t₁ = 1 с.

Решение

Определяем скорость точки:

Полное ускорение находим по касательной и нормальной составляющим:

Изобразим на рисунке К1б векторы , определив предварительно положение точки М на траектории при t₁ = 1 с, которое характеризует дуговая координата или центральный угол , иначе  = 4030.

Рис. К1б